Нахождение PDF с учетом CDF

23

Как я могу найти PDF (функция плотности вероятности) распределения по CDF (кумулятивная функция распределения)?

distributions pdf cdf

7

Я не уверен, что понимаю трудности. Если функциональная форма известна, просто возьмите производную, в противном случае возьмите различия. Я что-то здесь упускаю?

1

Я предполагаю, что вопрос о многомерном случае.

— user1700890

23

Как сказал пользователь 28 в комментариях выше, pdf - это первая производная от cdf для непрерывной случайной величины и разность для дискретной случайной величины.

В непрерывном случае, где у cdf есть разрыв, у pdf есть атом. Дельта-дельта "функции" могут быть использованы для представления этих атомов.

— Павел
источник

Существует хороший онлайн учебник Pishro-Nik здесь показывая это более явно.

— Грв

Имеет ли место что-то подобное для многомерного случая? (Я нашел ответ здесь, стр. 9).

f (x) = \frac{\partial^{n} F (x)}{\partial x_{1} \dots \partial x_{n}}

$f(\mathbf x) = \frac{\partial^n F(\mathbf x)}{\partial x_1 \dots \partial x_n}$

— Миннер

Не могли бы вы привести пример, что у cdf есть разрыв?

— whnlp

10

Пусть обозначает cdf; тогда вы всегда можете аппроксимировать PDF непрерывной случайной величины путем вычисления $F(x)$ гдеинаходятся по обе стороны от точки, где вы хотите узнать PDF и расстояниемаленький.

\frac{F ({Икс}_{2}) - F ({Икс}_{1})}{{Икс}_{2} - {Икс}_{1}},

$\frac{F(x_2) - F(x_1)}{x_2 - x_1},$

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

| x_{2} - x_{1} |

$|x_2 - x_1|$

— seancarmody
источник

1

Это то же самое, что брать производную, но просто более неточно, так зачем вы это делаете?

— Матти Пастелл

6

Это будет подход, когда CDF аппроксимируется только эмпирически. Это дает паршивые оценки PDF, хотя.

— Шаббычеф

Учитывая значения процентиля CDF, есть ли лучший способ рассчитать PDF из этих дискретных значений?

— bicepjai

В этом случае все x из x1 в xn сначала сортируются в порядке возрастания, чтобы всегда было xn> x (n-1)> x (n-2)>… ..x3> x2> x1?

— Эрик

0

Дифференцирование CDF не всегда помогает, рассмотрим уравнение:

 F(x) = (1/4) + ((4x - x*x) / 8)    ...    0 <= x < 2,

Разграничив его, вы получите:

((2 - x) / 4)

подстановка 0 в него дает значение (1/2), которое явно неверно, поскольку P (x = 0) явно (1/4).

Вместо этого вам нужно вычислить разницу между F (x) и lim (F (x - h)), поскольку h стремится к 0 с положительной стороны (x).

— Сохам Чакрадео
источник