Построение прогнозных значений во временных рядах ARIMA в R

Вероятно, в этом вопросе есть несколько серьезных недоразумений, но это не означает, что вычисления правильны, а скорее мотивируют изучение временных рядов с некоторым вниманием.

Пытаясь понять применение временных рядов, кажется, что удаление данных делает прогноз будущих значений неправдоподобным. Например, gtempвременной ряд из astsaпакета выглядит так:

Тенденция к росту в последние десятилетия должна учитываться при построении прогнозируемых будущих значений.

Однако для оценки колебаний временных рядов данные должны быть преобразованы в стационарные временные ряды. Если я модель это как процесс ARIMA с разностным (я предполагаю , что это происходит из - за средний 1дюйм order = c(-, 1, -)) , как в:

require(tseries); require(astsa)
fit = arima(gtemp, order = c(4, 1, 1))

и затем попытаться предсказать будущие значения ( лет), я пропускаю компонент восходящего тренда: $50$

pred = predict(fit, n.ahead = 50)
ts.plot(gtemp, pred$pred, lty = c(1,3), col=c(5,2))

Без необходимости касаться фактической оптимизации конкретных параметров ARIMA, как я могу восстановить восходящий тренд в прогнозируемой части графика?

Я подозреваю, что где-то есть "скрытый" OLS, что объясняет эту нестационарность?

Я натолкнулся на концепцию drift, которая может быть включена в Arima()функцию forecastпакета, представляя правдоподобный сюжет:

par(mfrow = c(1,2))
fit1 = Arima(gtemp, order = c(4,1,1), 
             include.drift = T)
future = forecast(fit1, h = 50)
plot(future)
fit2 = Arima(gtemp, order = c(4,1,1), 
             include.drift = F)
future2 = forecast(fit2, h = 50)
plot(future2)

что является более непрозрачным в отношении его вычислительного процесса. Я стремлюсь к какому-то пониманию того, как тренд учтен в расчетах графика. Является ли одна из проблем, которых нет driftв arima()(нижний регистр)?

Для сравнения, используя набор данных AirPassengers, прогнозируемое количество пассажиров за пределами конечной точки набора данных строится с учетом этой тенденции к росту:

Код является:

fit = arima(log(AirPassengers), c(0, 1, 1), seasonal = list(order = c(0, 1, 1), period = 12))
pred <- predict(fit, n.ahead = 10*12)
ts.plot(AirPassengers,exp(pred$pred), log = "y", lty = c(1,3))

рендеринг сюжета, который имеет смысл.

r time-series data-visualization

— Антони Пареллада
источник

Я бы сказал, что если вы считаете, что у вас есть серия, в которой тенденция со временем изменилась, модели ARIMA могут быть не лучшим способом приблизиться к их прогнозированию. В отсутствие предметных знаний (которые могут привести к созданию лучших моделей), я был бы склонен взглянуть на модели пространства состояний; в частности варианты базовой структурной модели для чего-то подобного. Трудно следить за многими обсуждениями моделей пространства состояний, но книги и статьи Эндрю Харви вполне читабельны (например, книга « Прогнозирование, модели структурных временных рядов и фильтр Калмана» довольно хороша). ... ctd

— Восстановить Монику

ctd ... Есть несколько других авторов, которые справляются достаточно хорошо, но даже лучшие из них делают это немного сложнее, чем это действительно должно быть для новичка.

— Glen_b

Спасибо, @Glen_b. Просто пытаться понять стиль временных рядов, и, как и во многих других математических темах, отсутствие мотивирующей преамбулы является убийцей. Кажется, что все временные ряды, которые нас действительно волнуют, имеют тенденцию к росту или уменьшению - население, Республиканская партия, фондовый рынок, глобальные температуры. И я понимаю, что вы хотите избавиться от тенденций (возможно, на секунду), чтобы увидеть циклические и сезонные модели. Но объединение результатов с общей тенденцией делать прогнозы либо подразумевается, либо не рассматривается как цель.

— Антони Пареллада

Комментарии Роба Хиндмана здесь актуальны. Я могу вернуться и немного рассказать об этом.

— Glen_b

Публикация в блоге Роба Дж. Хиндмана «Константы и модели ARIMA в R» - это, вероятно, все, что вам нужно знать. Мне было бы интересно услышать ваше мнение, как только вы изучите сообщение в блоге.

— Ричард Харди

Вот почему вы не должны делать ARIMA или что-либо еще на нестационарных данных.

Ответ на вопрос, почему прогноз ARIMA сбивается, становится довольно очевидным после рассмотрения уравнения ARIMA и одного из предположений. Это упрощенное объяснение, не рассматривайте его как математическое доказательство.

Давайте рассмотрим модель AR (1), но это верно для любой ARIMA (p, d, q).
Уравнение AR (1): и предположение о , что . С таким β каждая следующая точка ближе к 0, чем предыдущая, пока , а .

y_{t} = β y_{t - 1} + α + ϵ

$y_t = \beta y_{t-1} + \alpha + \epsilon$

β

$\beta$

| β | \leq 1

$|\beta| \le 1$

β y_{t - 1} = 0

$\beta y_{t-1} =0$

y_{t} = c o n s t = α

$y_t = const = \alpha$

В таком случае, как бороться с такими данными? Вы должны сделать это стационарным путем дифференцирования ( ) или расчета% изменения ( ). Вы моделируете различия, а не сами данные. Различия становятся постоянными со временем, это ваша тенденция. $new.data=y_t-y_{t-1}$ $new.data=y_t/y_{t-1} -1$

 require(tseries)
 require(forecast)
 require(astsa)
 dif<-diff(gtemp)
 fit = auto.arima(dif)
 pred = predict(fit, n.ahead = 50)
 ts.plot(dif, pred$pred, lty = c(1,3), col=c(5,2))
 gtemp_pred<-gtemp[length(gtemp)]
 for(i in 1:length(pred$pred)){
   gtemp_pred[i+1]<-gtemp_pred[i]+pred$pred[i]
 }
 plot(c(gtemp,gtemp_pred),type="l")

— MBT
источник

Спасибо. Короче говоря, будет наклоном окончательного сюжета?

α

$\alpha$

— Антони Пареллада

Нет. Я думаю, что вы перепутали это, потому что склон часто обозначается как . Однако, если вы спросите, какова связь между этим и уклоном, ответ не будет тривиальным. Короче говоря, если вы выбрали дифференцирование, было бы касательной к уклону, если бы вы выбрали% change, то не было бы никакого уклона, потому что тренд не будет линейным.

α

$\alpha$

α

$\alpha$

α

$\alpha$

— августа

ХОРОШО. Мне придется немного поиграть с вашим кодом, чтобы увидеть, что он пытается проиллюстрировать в отношении уравнения ts. Я не работал с тс, и я давно не публиковал вопрос.

— Антони Пареллада

Немного поиграв с кодом, я вижу, что происходит. Можете ли вы включить коэффициенты соответствия, которые входят AR1 = 0.257; MA = - 0.7854в уравнение модели ARIMA, чтобы полностью оценить процесс генерации спроецированной или прогнозируемой наклонной линии хвоста в конце графика?

— Антони Пареллада

Конечно. В свой ответ я положил только уравнение AR (1). Уравнение для всего процесса ARMA (p, q): где первая сумма - AR (p) Часть и вторая сумма - это процесс MA (q). У нас есть ARMA (1,1), поэтому он менее сложен: где , , .

{\hat{y}}_{t} = \sum_{i}^{p} β_{i} y_{t - i} + \sum_{j}^{q} γ_{j} ϵ_{t - j} + α + ϵ_{t}

$\hat y_t = \sum^p_i \beta_i y_{t-i} + \sum^q_j \gamma_j\epsilon_{t-j} + \alpha+\epsilon_t$

{\hat{y}}_{t} = β y_{t - 1} + γ ϵ_{t - 1} + α + ϵ_{t}

$\hat y_t = \beta y_{t-1} + \gamma\epsilon_{t-1} + \alpha+\epsilon_t$

β = 0.257

$\beta =0.257$

γ = - 0.7854

$\gamma =-0.7854$

α = 0.0064

$\alpha=0.0064$

— августа