Соотношение между синусом и косинусом

Предположим, что равномерно распределен на . Пусть и . Покажите, что корреляция между и равна нулю. $X$ $[0, 2\pi]$ $Y = \sin X$ $Z = \cos X$ $Y$ $Z$

Кажется, мне нужно знать стандартное отклонение синуса и косинуса и их ковариацию. Как я могу рассчитать это?

Я думаю, мне нужно предположить, что имеет равномерное распределение, и посмотреть на преобразованные переменные и . Тогда закон бессознательного статистика даст ожидаемое значение $X$ $Y=\sin(X)$ $Z=\cos(X)$

E [Y] = \frac{1}{b - a} \int_{- \infty}^{\infty} \sin (x) d x

$E[Y] = \frac{1}{b-a}\int_{-\infty}^{\infty} \sin(x)dx$ и

E [Z] = \frac{1}{b - a} \int_{- \infty}^{\infty} \cos (x) d x

$E[Z] = \frac{1}{b-a}\int_{-\infty}^{\infty} \cos(x)dx$

(плотность постоянна, поскольку она является равномерным распределением и, таким образом, может быть исключена из интеграла).

Тем не менее, эти интегралы не определены (но я думаю, что их главные значения Коши равны нулю).

Как я мог решить эту проблему? Я думаю, что знаю решение (корреляция равна нулю, потому что синус и косинус имеют противоположные фазы), но я не могу найти, как его получить.

— uklady
источник

Как уже говорилось, ваша проблема недостаточно определена. Корреляция - это концепция, которая применяется к случайным переменным, а не к функциям. (Формально случайная величина - это своего рода функция, а именно измеримая функция от вероятностного пространства до действительных чисел, снабженных мерой Бореля. Но просто сказать «функция синуса» ничего не говорит вам о вероятностной мере в домен, который дает вам вероятностную информацию, включая совместные рассылки.)

— Kodiologist

Если я предполагаю, что время - это единообразная случайная величина ( в моем тексте ), разве это невозможно? Я имею в виду, что я бы тогда посмотрел на корреляцию двух преобразованных случайных величин.

X

$X$

— Уклад

Итак, вы хотите, чтобы равномерно распределился, а затем вы определяете и ? Это хорошо, за исключением того, что вам также нужно указать поддержку плотности , поскольку нет равномерного распределения по всему или любому другому бесконечно длинному интервалу.

X

$X$

Y = \sin X

$Y = \sin X$

Z = \cos X

$Z = \cos X$

X

$X$

ℝ

$ℝ$

— Кодиолог

Возможно, я мог бы взять в качестве поддержки (я бы предположил, что , поэтому интервал содержит один полный цикл). Я думаю, что тогда проблемы с интеграцией тоже исчезнут

[0, 2 * p i]

$[0, 2*pi]$

f = 1

$f=1$

— uklady

Если вы это сделаете, то вам нужно только нарисовать диаграмму рассеяния - интеграция не требуется. Эта диаграмма рассеяния является равномерным распределением на единичной окружности (очевидно). Поскольку окружность симметрична при любом отражении от начала координат, корреляция равна ее отрицательности, поэтому она должна быть равна нулю, QED .

— whuber

поскольку

\begin{aligned} Cov (Y, Z) & = E [(Y - E [Y]) (Z - E [Z])] \\ = E [(Y - \int_{0}^{2 π} \sin x d x) (Z - \int_{0}^{2 π} \cos x d x)] \\ = E [(Y - 0) (Z - 0)] \\ = E [Y Z] \\ = \int_{0}^{2 π} \sin x \cos x d x \\ = 0, \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{Cov}(Y, Z) &= E[(Y - E[Y])(Z - E[Z])] \\ &= E[(Y - {\textstyle \int}_0^{2\pi} \sin x \;dx)(Z - {\textstyle \int}_0^{2\pi} \cos x \;dx)] \\ &= E[(Y - 0)(Z - 0)] \\ &= E[YZ] \\ &= \int_0^{2\pi} \sin x \cos x \;dx \\ &= 0 , \end{align}$

корреляция также должна быть 0.

— Kodiologist
источник

Мне очень нравится аргумент @ whuber о симметрии, и я не хочу, чтобы он был потерян в качестве комментария, так что здесь есть немного проработки.

Рассмотрим случайный вектор , где и для . Тогда, поскольку параметризует единичный круг по длине дуги, равномерно распределяется по единичному кругу. В частности, распределение такое же, как распределение . Но потом $(X, Y)$ $X = \cos(U)$ $Y = \sin(U)$ $U \sim U(0, 2 \pi)$ $\theta \mapsto (\cos(\theta), \sin(\theta))$ $(X, Y)$ $(-X, Y)$ $(X, Y)$

- Cov (X, Y) = Cov (- X, Y) = Cov (X, Y)

$- \text{Cov} (X, Y) = \text{Cov} (-X, Y) = \text{Cov} (X, Y)$

поэтому должно быть, что . $\text{Cov} (X, Y) = 0$

Просто красивый геометрический аргумент.

— Мэтью Друри
источник