Интуиция за распределением степенного закона

Я знаю, что pdf степенного закона распределения

$$p(x) = \frac{\alpha-1}{x_{\text{min}}} \left(\frac{x}{x_{\text{min}}} \right)^{-\alpha}$$

Но что это означает интуитивно, если, например, цены на акции следуют распределению по степенному закону? Значит ли это, что потери могут быть очень высокими, но нечастыми?

Это дистрибутив с тяжелыми хвостами, так как cdf это

$$F(x) = 1 - \left( \dfrac{x}{x_\min} \right)^{1-\alpha}$$ Таким образом, вероятность превышения$x$,$(x/x_\min)^{1-\alpha}$может быть сделана произвольно близкой к$1$при правильном выборе$\alpha$. Например, если кто-то хочет, чтобы вероятность превышения$10^u x_\min$составляла не менее$0.9$, следует выбрать$\alpha$равной не более $$1-\log_{10}(0.9)/u$$ кривой, представленной ниже, причем первая ось масштабируется с помощью ,не 10 у й мин ... $u$$10^u x_\min$

Это не рецензируемый источник, но мне нравится эта записка по CMU STATs профессора Cosma Шализи . Он также является автором этой статьи об оценке таких вещей по данным.

Бумажные законы о власти в экономике и финансах могут помочь понять интуицию о законах о власти. Ксавье Габе утверждает, что степенной закон (ПЛ) - это форма, принятая большим количеством удивительных эмпирических закономерностей в экономике и финансах. В его обзоре рассматриваются хорошо документированные эмпирические PL, касающиеся доходов и благосостояния, размера городов и фирм, доходности фондового рынка, объема торгов, международной торговли и оплаты труда руководителей.

Интуиция для распределения Парето

Парето (Википедия) первоначально описал распределение богатства между людьми: большая часть богатства любого общества принадлежит небольшому проценту людей. Его идея выражается более просто, так как принцип Парето или «правило 80-20» гласит, что 20% населения контролируют 80% богатства.

Правильный хвост распределения доходов и богатства часто напоминает Парето

Если распределение дохода - Парето, то можно получить простые выражения для доли лучших 1% или лучших 10%. Тогда доля верхнего четвертого процентиля в общем доходе может быть получена как:

$$\left(\frac{q}{100}\right)^{\frac{\alpha-1}{\alpha}},$$

где - параметр формы. Это выражение подразумевает, что более низкий$\alpha \geq 1$ соответствует более толстому хвосту распределения Парето и, следовательно, большей доле общего дохода, получаемой лицами с более высоким процентилем распределения. Например, при α = 2 верхняя доля 1% составляет 10%, а при α = 3 - 4%.$\alpha$$\alpha=2$$\alpha=3$

Одно интересное свойство степенного распределения исходит от просмотра его в логарифмическом масштабе. Если мы имеем то логарифмическое преобразование Y = ln ( x / x min ) ∼ Exp $X \sim \text{Power}(x_\min, \alpha)$ . То есть значения X имеют экспоненциальное распределение в логарифмическом масштабе.$Y = \ln(x/x_\min) \sim \text{Exp}(\alpha-1)$$X$

Теперь одно важное свойство экспоненциального распределения состоит в том, что оно имеет постоянную степень опасности. Записав коэффициент опасности для по первым принципам (в качестве условной плотности в ее предельной форме) и скорректировав ее, чтобы сформировать ее в терминах X, мы получим:$Y$$X$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \alpha -1 = \lambda_Y(y) &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \cdot \mathbb{P}(y \leqslant Y \leqslant y + \epsilon| Y \geqslant y) \\[6pt] &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \cdot \mathbb{P}(\ln(x) \leqslant \ln(X) \leqslant \ln(x) + \epsilon| X \geqslant x) \\[6pt] &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant x e^\epsilon | X \geqslant x)}{\epsilon} \\[6pt] &= \lim_{\delta \downarrow 1} \frac{ \mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x)}{\ln \delta}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

We can see from this hazard characterisation that $\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x) \approx (\alpha-1) \ln \delta$ for any small values of $\ln \delta$. Notice that this probability does not depend on the conditioning value $x$, which is the result of the constant-hazard property. Hence, for any conditioning values $x, x' > x_\min$, and any small value $\ln \delta$, we have:

$$\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x) \approx \mathbb{P}(x' \leqslant X \leqslant \delta x' | X \geqslant x').$$

Hence, we see that the power-law can be characterised by the fact that this conditional probability is approximately the same regardless of the conditioning point. In the context of stock prices, if these follow a power-law then we can say that, the probability that the stock will "rise" by some proportion is not dependent on its present value$^\dagger$.

---

$^\dagger$ We use "rise" loosely here, since we are talking about a single random variable, and we have not modelled a time-series of stock prices. Within out present context we refer to the probability of a "rise" in the stock price in the sense of a conditional probability that the price is within some interval above a lower bound, conditional on this lower bound.