Ожидаемое значение максимального отношения нормальных переменных

Пусть $X_1,...,X_n$ являются IID из $N(\mu,\sigma^2)$ , и пусть $X_{(i)}$ обозначим $i$ «й наименьший элемент из $X_1,...,X_n$ . Как можно было бы оценить верхний предел ожидаемого максимума отношения между двумя последовательными элементами в $X_{(i)}$ ? То есть, как вы можете рассчитать верхнюю границу:

$$E\left[\max\limits_{i=1,...,n-1}\left(\frac{X_{(i+1)}}{X_{(i)}}\right)\right]$$

Литература, которую я смог найти, в основном сфокусирована на соотношении между двумя случайными переменными, что приводит к распределению соотношений, для которого pdf для двух некоррелированных нормальных распределений приведен здесь: https://en.wikipedia.org/wiki/ Ratio_distribution # Gaussian_ratio_distribution . Хотя это позволило бы мне оценить ожидаемое среднее отношение $n$ переменных сверху вниз, я не могу понять, как обобщить эту концепцию, чтобы найти ожидаемое максимальное соотношение $n$ переменных.

Ожидание не определено.

$X_i$$F$$h$$\epsilon$

$$F(x) - F(0) \ge h x\tag{1}$$

$0 \lt x \lt \epsilon$$f$$0$$F(x) - F(0) = f(0)x + o(x)$$h$$0$$f(0)$

$F(0) \gt 0$$1-F(1) \gt 0$$F$

$t \gt 1$

$$\eqalign{ \Pr\left(\frac{X_{(i+1)}}{X_{(i)}} \gt t\right) &= \Pr(X_{(i+1)} \gt t X_{(i)}) \\ &\gt \Pr(X_{(i+1)}\gt 1,\ X_{(i)} \le 1/t) \\ &\gt \Pr(X_{(i+1)}\gt 1,\ 1/t \ge X_{(i)} \gt 0,\ 0 \ge X_{(i-1)}).}$$

$n-i$$X_j$$1$$(0,1/t]$$i-1$$F$

$$\binom{n}{n-i,1,i-1}(1-F(1))^{n-i}(F(1/t)-F(0))F(0)^{i-1}.$$

Когда , неравенство обеспечивает нижнюю границу для этого, которая пропорциональна , показывая, что$t \gt 1/\epsilon$$(1)$$1/t$

Функция выживания из имеет хвост, ведущий асимптотически как : для некоторого положительного числа .$S(t)$$X_{(i+1)}/X_{(i)}$$1/t$$S(t) = a/t + o(1/t)$$a$

По определению, ожидание любой случайной величины - это ожидание ее положительной части плюс ожидание ее отрицательной части . Поскольку положительная часть ожидания - если она существует - является интегралом функции выживания (от до ) и$\max(X,0)$$-\max(-X,0)$$0$$\infty$

$$\int_0^x S(t) dt = \int_0^x (1/t + o(1/t))dt\; \propto\; \log(x),$$

положительная часть ожидания расходится.$X_{(i+1)}/X_{(i)}$

Тот же аргумент, примененный к переменным показывает отрицательную часть ожидания отклонения. Таким образом, ожидание отношения не является даже бесконечным: оно не определено.$-X_i$