В чем разница между асимптотической непредвзятостью и последовательностью?

Означает ли каждый другой? Если нет, то подразумевает ли одно другое? Почему, почему нет?

Эта проблема возникла в ответ на комментарий к ответу, который я разместил здесь .

Хотя поиск по релевантным терминам в Google не дал ничего, что казалось бы особенно полезным, я заметил ответ на математическом стеке. Однако я подумал, что этот вопрос подходит и для этого сайта.

РЕДАКТИРОВАТЬ после прочтения комментариев

Относительно ответа math.stackexchange, который я получил после чего-то более глубокого, охватывая некоторые вопросы, затронутые в ветке комментариев @whuber по ссылке . Кроме того, как я вижу, вопрос math.stackexchange показывает, что последовательность не подразумевает асимптотически непредвзятости, но мало что объясняет, почему. ФП также считает само собой разумеющимся, что асимптотическая непредвзятость не подразумевает последовательности, и, таким образом, пока что единственный ответчик не рассматривает, почему это так.

— user1205901 - Восстановить Монику
источник

Актуальное обсуждение в чате начинается здесь.

— Стефан Коласса

Концепции, связанные с этим вопросом, подробно обсуждаются в комментариях, следующих за stats.stackexchange.com/a/31038/919 .

— whuber

Последующая ветка к обсуждению, связанному с @whuber, находится здесь: stats.stackexchange.com/questions/120584 .

— говорит амеба, восстанови Монику

В соответствующем посте на math.se ответчик принимает как заданное, что определение асимптотической непредвзятости равно . $\lim_{n\to \infty} E(\hat \theta_n-\theta) = 0$

Интуитивно я не согласен: «непредвзятость» - это термин, который мы впервые узнаем относительно распределения (конечная выборка). Тогда представляется более естественным рассмотреть «асимптотическую непредвзятость» по отношению к асимптотическому распределению. И на самом деле, это то, что делают Леманн и Казелла в «Теории оценки точек» (1998, 2-е изд) , стр. 438 Определение 2.1 (упрощенная запись):

$Если К_{N} ({\hat{θ}}_{N} - θ) \to_{d} ЧАС$ $\text{If} \;\;\;k_n(\hat \theta_n - \theta )\to_d H$
для некоторой последовательности и для некоторой случайной величины оценка асимптотически несмещена, если ожидаемое значение равно нулю. $k_n$ $H$ $\hat \theta_n$ $H$

Учитывая это определение, мы можем утверждать, что согласованность подразумевает асимптотическую непредвзятость, поскольку

{\hat{θ}}_{N} \to_{п} θ ⟹ {\hat{θ}}_{N} - θ \to_{п} 0 ⟹ {\hat{θ}}_{N} - θ \to_{d} 0

$\hat \theta_n \to_{p}\theta \implies \hat \theta_n - \theta \to_{p}0 \implies \hat \theta_n - \theta \to_{d}0$

... и вырожденное распределение, равное нулю, имеет ожидаемое значение, равное нулю (здесь последовательность представляет собой последовательность единиц). $k_n$

Но я подозреваю, что это не очень полезно, это просто побочный продукт определения асимптотической непредвзятости, который учитывает вырожденные случайные величины. По сути, мы хотели бы знать, если бы у нас было выражение, включающее оценку, которая сходится к невырожденному rv, согласованность все равно подразумевала бы асимптотическую непредвзятость.

Ранее в книге (стр. 431 Определение 1.2) авторы называют свойство как " непредвзятость в пределе ", и это не совпадают с асимптотической непредвзятостью. $\lim_{n\to \infty} E(\hat \theta_n-\theta) = 0$

Объективность в пределе достаточна (но не обязательна) для согласованности при дополнительном условии, что последовательность дисперсий оценки стремится к нулю (подразумевая, что дисперсия существует в первую очередь).

Для тонкостей, связанных с согласованностью с ненулевой дисперсией (немного ошеломляющей), посетите этот пост .

— Алекос Пападопулос
источник

Правильно ли я понимаю, что в определении может быть любой случайной величиной (то есть для некоторой последовательности и некоторого и т. Д.)? Если так, возможно, это можно упомянуть

H

$H$

k_{n}

$k_n$

H

$H$

— Юхо Коккала

К сожалению, этот ответ ободряет только «беспристрастность в пределе достаточно», а не «при дополнительном условии, что последовательность отклонений оценки стремится к нулю». Здесь легко быть введенным в заблуждение, так как это дополнительное условие имеет решающее значение для этой «достаточности».

— Даеган