Смещение оценки момента логнормального распределения

Я делаю некоторый численный эксперимент, который состоит в выборке логнормального распределения $X\sim\mathcal{LN}(\mu, \sigma)$ и попытке оценить моменты $\mathbb{E}[X^n]$ двумя методами:

1. Глядя на выборку среднего значения $X^n$
2. Оценивая $\mu$ и $\sigma^2$ , используя выборочные средние для $\log(X), \log^2(X)$ , а затем используя тот факт, что для логнормального распределения имеем $\mathbb{E}[X^n]=\exp(n \mu + (n \sigma)^2/2)$ .

Вопрос в следующем :

Я нахожу экспериментально, что второй метод работает намного лучше, чем первый, когда я фиксирую количество выборок и увеличиваю $\mu, \sigma^2$ на некоторый фактор Т. Есть ли какое-то простое объяснение этому факту?

Я прилагаю фигуру, на которой ось X - это T, а ось Y - это значения $\mathbb{E}[X^2]$ сравнивающие истинные значения $\mathbb{E}[X^2] = \exp(2 \mu + 2 \sigma^2)$ (оранжевый линия), к оценочным значениям. метод 1 - синие точки, метод 2 - зеленые точки. Ось Y в логарифмическом масштабе

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Ниже приведен минимальный код Mathematica для получения результатов для одного T с выводом:

   ClearAll[n,numIterations,sigma,mu,totalTime,data,rmomentFromMuSigma,rmomentSample,rmomentSample]
(* Define variables *)
n=2; numIterations = 10^4; sigma = 0.5; mu=0.1; totalTime = 200;
(* Create log normal data*)
data=RandomVariate[LogNormalDistribution[mu*totalTime,sigma*Sqrt[totalTime]],numIterations];

(* the moment by theory:*)
rmomentTheory = Exp[(n*mu+(n*sigma)^2/2)*totalTime];

(*Calculate directly: *)
rmomentSample = Mean[data^n];

(*Calculate through estimated mu and sigma *)
muNumerical = Mean[Log[data]]; (*numerical \[Mu] (gaussian mean) *)
sigmaSqrNumerical = Mean[Log[data]^2]-(muNumerical)^2; (* numerical gaussian variance *)
rmomentFromMuSigma = Exp[ muNumerical*n + (n ^2sigmaSqrNumerical)/2];

(*output*)
Log@{rmomentTheory, rmomentSample,rmomentFromMuSigma}

Выход:

(*Log of {analytic, sample mean of r^2, using mu and sigma} *)
{140., 91.8953, 137.519}

выше, вторым результатом является среднее значение выборки , которое ниже двух других результатов$r^2$

Есть что-то загадочное в этих результатах, так как

1. первый метод дает объективную оценку , а именно $\mathbb{E}[X^2]$ имеетE[X2] вкачестве среднего значения. Следовательно, синие точки должны быть около ожидаемого значения (оранжевая кривая); $$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_i^2$$ $\mathbb{E}[X^2]$
2. второй способ обеспечивает смещенной оценкой , а именно Е [ ехр ( п ц + п 2 σ 2 / 2 ) ] > ехр ( п ц + ( $\mathbb{E}[X^2]$ , когда μ и σ ² являются несмещенные оценки из μ и σ $$\mathbb{E}[\exp(n \hat\mu + n^2 \hat{\sigma}^2/2)]>\exp(n \mu + (n \sigma)^2/2)$$ $\hat\mu$$\hat\sigma²$$\mu$$\sigma²$ соответственно, и поэтому странно, что зеленые точки выровнены с оранжевой кривой.

$\mu_T$$\sigma_T$

Вот соответствующий код R:

moy1=moy2=rep(0,200)
mus=0.14*(1:200)
sigs=sqrt(0.13*(1:200))
tru=exp(2*mus+2*sigs^2)
for (t in 1:200){
x=rnorm(1e5)
moy1[t]=mean(exp(2*sigs[t]*x+2*mus[t]))
moy2[t]=exp(2*mean(sigs[t]*x+mus[t])+2*var(sigs[t]*x+mus[t]))}

plot(moy1/tru,col="blue",ylab="relative mean",xlab="T",cex=.4,pch=19)
abline(h=1,col="orange")
lines((moy2/tru),col="green",cex=.4,pch=19)

$\mu$$\sigma$$\mu$$\sigma$

$\mathbb{E}[X^2]$$X^2$$X^2$$e^{2\mu}$$X^2$$\exp\{2\mu+2\sigma\epsilon\}$$\epsilon\sim\mathcal{N}(0,1)$$\sigma$$\sigma\epsilon$$\sigma^2$$X$$\mathcal{LN}(\mu,\sigma)$

$$\begin{align*}\mathbb{P}(X^2>\mathbb{E}[X^2])&=\mathbb{P}(\log\{X^2\}>2\mu+2\sigma^2)\\&=\mathbb{P}(\mu+\sigma\epsilon>\mu+\sigma^2)\\&=\mathbb{P}(\epsilon>\sigma)\\ &=1-\Phi(\sigma)\end{align*}$$

Я подумал, что подброшу несколько фиг, показывающих, что графики user29918 и Сианя совпадают. На рис. 1 показано, что сделал user29918, а на рис. 2 (на основе тех же данных) - то, что сделал Сиань для своего сюжета. Тот же результат, другая презентация.

$\frac{1}{n} \sum_i x_i^2$

Дальнейшие комментарии:

1. Беспристрастная оценка не означает, что оценка должна быть близка! Синие точки не обязательно должны соответствовать ожиданиям. Например. одно случайное наблюдение, выбранное случайным образом, дает объективную оценку среднего значения по населению, но не следует ожидать, что эта оценка будет близкой.
2. Проблема поднимается, поскольку дисперсия становится абсолютно астрономической. Поскольку дисперсия становится все более очевидной, оценка для первого метода сводится к нескольким наблюдениям. Вы также начинаете иметь крошечную, крошечную вероятность БЕЗУМНО, БЕЗУМНО, БЕЗУМНО большого числа ...
3. $P(X^2 > E[X^2]) = 1 - \Phi(\sigma)$$\sigma$$X^2 > E[X^2]$ .