Является ли сумма большого числа независимых случайных величин Коши нормальной?

По центральной предельной теореме функция плотности вероятности суммы больших независимых случайных величин стремится к нормали. Поэтому можно ли сказать, что сумма большого числа независимых случайных величин Коши также является нормальной?

Нет.

Вам не хватает одного из центральных предположений центральной предельной теоремы:

... случайные величины с конечными дисперсиями ...

Распределение Коши не имеет конечной дисперсии.

Распределение Коши является примером распределения, для которого не определены средние значения, дисперсия или более высокие моменты.

по факту

Если - независимые и одинаково распределенные случайные величины, каждая со стандартным распределением Коши, то выборочное среднее X 1 + ⋯ + X $X_1, \ldots, X_n$ имеет то же стандартное распределение Коши.$\frac{X_1 + \cdots + X_n}{n}$

Таким образом, ситуация в вашем вопросе достаточно ясна, вы просто продолжаете возвращаться к тому же распределению Коши.

Это концепция стабильного распределения верно?

Да. (Строго) стабильное распределение (или случайная величина) - это такое распределение, для которого любая линейная комбинация из двух копий iid распределяется пропорционально исходному распределению. Распределение Коши действительно строго стационарно.$a X_1 + b X_2$

(*) Цитаты из Википедии.