Фурье-преобразование распределений

Какие распределения являются их собственным преобразованием Фурье, кроме нормального распределения и обобщенного распределения арксинуса ?

distributions fourier-transform

— Нил Г
источник

Предположим, что преобразование Фурье для есть где где . Обратное преобразование: $x(t)$ $X(f)$

X (f) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) \exp (- i 2 π f t) d t

$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \exp(-i2\pi f t) \mathrm dt$

i = \sqrt{- 1}

$i = \sqrt{-1}$

x (t) = \int_{- \infty}^{\infty} X (f) \exp (i 2 π f t) d f

$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) \exp(i2\pi f t) \mathrm df$

Некоторые свойства преобразования Фурье следующие:

Преобразование Фурье для есть $X(t)$ $x(-f)$
Если - вещественная четная функция от , то - вещественная четная функция от . $x(t)$ $t$ $X(f)$ $f$

Таким образом, если является действительной четной функцией от , то преобразование Фурье для вещественной четной функции равно $x(t)$ $t$ $X(t)$ $x(f)$

Теперь предположим, что является четной функцией плотности вероятности (так что для всех ) с дополнительным свойством, что . Предположим также, что его преобразование Фурье обладает свойством для всех . Тогда, поскольку является четной неотрицательной вещественной функцией функции с областью , что есть, также является функция плотности вероятности с тем свойством , что $x(t)$ $x(t) \geq 0$ $t$ $x(0) = 1$ $X(f)$ $X(f) \geq 0$ $f$

x (0) = 1 = \int_{- \infty}^{\infty} X (f) d f

$x(0) = 1 = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) \mathrm df$

X (f)

$X(f)$

f

$f$

1

$1$

X (f)

$X(f)$

X (0) = 1

$X(0) = 1$ , Одним примером такой пары функций является нормальное распределение, процитированное OP Neil G и еще один пример:

x_{1} (t) = \exp (- π t^{2}), X_{1} (f) = \exp (- π f^{2})

$x_1(t) = \exp(-\pi t^2), ~~ X_1(f) = \exp(-\pi f^2)$

x_{2} (t) = (1 - | t |) 1_{[- 1, 1]}, X_{2} (f) = {sinc}^{2} (f) = {\begin{cases} {(\frac{\sin (π f)}{π f})}^{2}, & f \neq 0, \\ 1, & f = 0. \end{cases}

$x_2(t) = (1 - |t|)\mathbf 1_{[-1,1]}, ~~ X_2(f) = \operatorname{sinc}^2(f) = \begin{cases}\displaystyle \left(\frac{\sin(\pi f)}{\pi f}\right)^2,&f\neq 0,\\ 1,&f=0.\end{cases}$

Теперь обратите внимание, что - плотность смеси , преобразование Фурье которой равно , который является такой же плотностью смеси. $\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)$ $\frac{1}{2} X_2(f) + \frac{1}{2}x_2(f)$

Таким образом, если является функцией плотности, преобразование Фурье которой является функцией плотности, то функция плотности смеси является своим собственным преобразованием Фурье. $x(t)$ $X(f)$ $\frac{1}{2} x(t) + \frac{1}{2}X(t)$

Наконец, учитывая две плотности, которые являются их собственными преобразованиями Фурье, например, и , любая плотность смеси где является функцией плотности, которая является его собственным преобразованием Фурье. $x_1(t)$ $\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)$

α x_{1} (t) + (1 - α) [\frac{1}{2} x_{2} (t) + \frac{1}{2} X_{2} (t)]

$\alpha x_1(t) + (1-\alpha)\left[\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)\right]$

α \in [0, 1]

$\alpha \in [0,1]$

— Дилип Сарватэ
источник

(+1) Это довольно умно. Следует отметить, что для гарантии правильной пары преобразований нам нужно условие интегрируемости на . А именно, гарантирует, что указанная инверсия восстановит соответствующую плотность. В некотором смысле вы применяете такое условие позже. (Я уже предполагал, что ограничение неотрицательности для было наложено, поэтому оно не нуждается в модуле.)

X (f)

$X(f)$

\int_{- \infty}^{\infty} X (f) d f < \infty

$\int_{-\infty}^\infty X(f) \,\mathrm{d}f < \infty$

X (f)

$X(f)$

— кардинал