Еще один центральный вопрос о предельной теореме

Пусть - последовательность независимых случайных величин Бернулли с Установите Покажите, что сходится по распределению к стандартной нормальной переменной при стремлении к бесконечности.$\{X_n:n\ge1\}$

$$P\{X_k=1\}=1-P\{X_k=0\}=\frac{1}{k}.$$ $$S_n=\sum^{n}_{k=1}\left(X_k-\frac{1}{k}\right), \ B_n^2=\sum^{n}_{k=1}\frac{k-1}{k^2}$$ $\frac{S_n}{B_n}$$Z$$n$

Я пытаюсь использовать CLT Ляпунова, поэтому нам нужно показать, что существует такой , что $\delta>0$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{B_n^{2+\delta}}\sum_{k=1}^{n}E[|X_k-\frac{1}{k}|^{2+\delta}]=0.$$

Поэтому установите $\delta=1$

$$\sum_{k=1}^{n}E\left|X_k-k^{-1}\right|^{3}=\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k}-\frac{3}{k^2}+\frac{4}{k^3}-\frac{2}{k^4}\right)$$ и $$B_n^3=\left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\frac{1}{k^2} \right) \sqrt{\left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\frac{1}{k^2} \right)}$$

Оценивая большие n на компьютере, он показывает, как $\sum_{k=1}^{n}E|X_k-k^{-1}|^{3} \to \infty$ и $B_n^3 \to \infty$ как $n \to \infty$ . Но $B_n^3$ увеличивается быстрее, чем $B_n^2$ поэтому $\frac{\sum_{k=1}^{n}E|X_k-k^{-1}|^{3}}{B_n^3} \to 0$ . Может ли кто-нибудь помочь мне доказать, что это сближение верно?

Может быть поучительно продемонстрировать этот результат из первых принципов и основных результатов , используя свойства производящих функции кумулянта (точно так же, как в стандартных доказательствах центральной предельной теоремы). Это требует от нас понимания скорости роста обобщенных гармонических чисел для Эти скорости роста хорошо известны и легко получаются путем сравнения с интегралами : они сходятся при и иначе расходятся логарифмически при .

$$H(n,s)=\sum_{k=1}^n k^{-s}$$ $s=1, 2, \ldots.$$\int_1^n x^{-s}dx$$s \gt 1$$s=1$

---

Пусть и . По определению производящая функция кумулянта (cgf) из равна$n \ge 2$$1 \le k \le n$$(X_k - 1/k)/B_n$

$$\psi_{k,n}(t) = \log\mathbb{E}\left(\exp\left(\frac{X_k - 1/k}{B_n}t\right)\right) = -\frac{t}{k B_n} + \log\left(1 + \frac{-1 + \exp(t/B_n)}{k}\right).$$

Последовательное разложение правой части, полученное из разложения вокруг , принимает вид$\log(1+z)$$z=0$

$$\psi_{k,n}(t) = \frac{(k-1)}{2 k^2 B_n^2}t^2 + \frac{k^2 - 3k + 2}{6 k^3 B_n^3} t^3 + \cdots + \frac{k^{j-1} - \cdots \pm (j-1)!}{j! k^j B_n^j}t^j + \cdots.$$

Числители дробей являются полиномами от с начальным членом . Поскольку расширение журнала сходится абсолютно для , это расширение сходится абсолютно, когда$k$$k^{j-1}$$\left|\frac{-1 + \exp(t/B_n)}{k}\right| \lt 1$

$$\left|\exp(t/B_n) - 1\right| \lt k.$$

(В случае, когда оно сходится повсюду.) При фиксированном и растущих значениях (очевидная) дивергенция означает, что область абсолютной сходимости растет сколь угодно большой. Таким образом, для любого фиксированного и достаточно большого это разложение абсолютно сходится.$k=1$$k$$n$$B_n$$t$$n$

Таким образом, для достаточно большого , мы можем суммировать отдельного по терму по терму в степенях чтобы получить cgf для ,$n$$\psi_{k,n}$$k$$t$$S_n/B_n$

$$\psi_n(t) = \sum_{k=1}^n \psi_{k,n}(t) = \frac{1}{2}t^2 + \cdots + \frac{1}{B_n^j}\left(\sum_{k=1}^n \left(k^{-1} - \cdots \pm (j-1)!k^{-j}\right)\right)\frac{t^j}{j} + \cdots.$$

Взятие слагаемых в суммы по одному требует от нас оценки выражений, пропорциональных$k$

$$b(s,j) = \frac{1}{B_n^j}\sum_{k=1}^n k^{-s}$$

для и . Используя асимптотику обобщенных гармонических чисел, упомянутых во введении, это легко следует из$j \ge 3$$s=1, 2, \ldots, j$

$$B_n^2 = H(n,1) - H(n,2) \sim \log(n)$$

это

$$b(1,j) \sim (\log(n))^{1-j/2}\to 0$$

и (для )$s \gt 1$

$$b(s,j) \sim (\log(n))^{-j/2}\to 0$$

как растет большими. Следовательно, все члены в разложении за пределами сходятся к нулю, откуда сходится к для любого значения . Поскольку сходимость cgf подразумевает сходимость характеристической функции, из теоремы непрерывности Леви мы заключаем, что приближается к случайной переменной, cgf которой равна 2/2 : это стандартная переменная Normal, QED .$n$$\psi_n(t)$$t^2$$\psi_n(t)$$t^2/2$$t$$S_n/B_n$$t^2/2$

---

Этот анализ раскрывает, насколько деликатна сходимость: тогда как во многих версиях центральной предельной теоремы коэффициент равен (для ), здесь коэффициент равен только : сходимость намного медленнее. В этом смысле последовательность стандартизированных переменных «едва-едва» становится нормальной.$t^j$$O(n^{1-j/2})$$j \ge 3$$O(((\log(n))^{1-j/2})$

Мы видим эту медленную сходимость в серии симуляций. Гистограммы отображают независимых итераций для четырех значений . Красные кривые представляют собой графики стандартных функций нормальной плотности для наглядности. Хотя, по-видимому, наблюдается постепенная тенденция к нормальности, даже при (где все еще значительно) остается заметная ненормальность, о чем свидетельствует асимметрия (равно в этом образце). (Не удивительно, что асимметрия этой гистограммы близка к , потому что это именно то, что является термином в cgf.)$10^5$$n$$n=1000$$(\log(n))^{-1/2} \approx 0.38$$0.35$$(\log(n))^{-1/2}$$t^3$

Вот Rкод для тех, кто хотел бы поэкспериментировать дальше.

set.seed(17)
par(mfrow=c(1,4))
n.iter <- 1e5
for(n in c(30, 100, 300, 1000)) {
  B.n <- sqrt(sum(rev((((1:n)-1) / (1:n)^2))))
  x <- matrix(rbinom(n*n.iter, 1, 1/(1:n)), nrow=n, byrow=FALSE)
  z <- colSums(x - 1/(1:n)) / B.n
  hist(z, main=paste("n =", n), freq=FALSE, ylim=c(0, 1/2))
  curve(dnorm(x), add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

У вас уже есть отличный ответ. Если вы также хотите заполнить собственное доказательство, вы можете утверждать следующее:

Поскольку сходится для всех и расходится для ( здесь ), мы можем написать$\sum_{k=1}^n 1/k^i$$i>1$$i = 1$

$$\begin{align}S(n):=\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k} - \frac{3}{k^2} + \frac{4}{k^3} - \frac{3}{k^4} \right) = \sum_{k=1}^n\frac{1}{k} + O(1). \end{align}$$

По тому же аргументу,

$$B^2_n = \sum_{k=1}^n\frac{1}{k} + O(1).$$

Следовательно, и, таким образом,$S(n) / B_n^2 = O(1)$

$$S(n)/B_n^3 = O(1)(B_n^2)^{-1/2} \to 0,$$

это то, что мы хотели показать.

Во-первых, ваши случайные величины не распределены одинаково, если распределение зависит от ;)$k$

Также я бы не использовал вашу запись как:$B_n$

• заглавные буквы обычно зарезервированы для случайных величин.
• это просто сумма отклонений, поэтому я бы использовал обозначение, включающее символ чтобы сделать это очевидным.$\sigma$

Что касается вопроса, я не знаю, является ли это упражнение или исследование и какие инструменты вам разрешено использовать. Если вы не пытаетесь повторно доказать известные теоремы, я бы просто сказал, что это центральная предельная теорема для независимых неравномерно распределенных, но равномерно ограниченных RV, и назову это днем. У меня нет хорошего источника под рукой, но его не должно быть слишком сложно найти, например, посмотрите на /mathpro/29508/is-there-a-central-limit-theorem- для ограниченного-неидентично-распределенного-случайного .

Изменить: Мое плохо, конечно, равномерно ограниченное условие недостаточно, вам также нужно

$$\sum_{k=1}^n \sigma_k^2 \to \infty$$