В CLT почему ?

10

Пусть - независимые наблюдения из распределения со средним значением и дисперсией , когда , то $X_1,...,X_n$ $\mu$ $\sigma^2 < \infty$ $n \rightarrow \infty$

\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} \to N (0, 1) .

$\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma} \rightarrow N(0,1).$

Почему это означает, что

{\bar{X}}_{n} \sim N (μ, \frac{σ^{2}}{n}) ?

$\bar{X}_n \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)?$

probability central-limit-theorem

— mavavilj
источник

Возможно, это не было достаточно ясно подчеркнуто ниже, но утверждение математически значимо и верно, в то время как утверждение математически абсурден, поэтому, как говорится, даже не ошибочно .

\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} \to N (0, 1)

$\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma} \rightarrow N(0,1)$

{\bar{X}}_{n} \sim N (μ, \frac{σ^{2}}{n})

$\bar{X}_n \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$

— сделал

17

Ваша интерпретация немного неверна. Центральная предельная теорема (CLT) подразумевает, что

{\bar{X}}_{n} \overset{approx}{\sim} N (μ, \frac{σ^{2}}{n}) .

$\bar{X}_n \overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right).$

Это связано с тем, что CLT является асимптотическим результатом, и мы на практике имеем дело только с конечными выборками. Однако, когда размер выборки достаточно велик, мы предполагаем, что результат CLT верен в приближении, и, таким образом,

\begin{aligned} \sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} & \overset{approx}{\sim} N (0, 1) \\ \sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} . \frac{σ}{\sqrt{n}} & \overset{approx}{\sim} \frac{σ}{\sqrt{n}} N (0, 1) \\ {\bar{X}}_{n} - μ & \overset{approx}{\sim} N (0, \frac{σ^{2}}{n}) \\ {\bar{X}}_{n} - μ + μ & \overset{approx}{\sim} μ + N (0, \frac{σ^{2}}{n}) \\ {\bar{X}}_{n} & \overset{approx}{\sim} N (μ, \frac{σ^{2}}{n}) . \end{aligned}

$\begin{align*} \sqrt{n} \dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} N(0, 1)\\ \sqrt{n} \dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} . \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} N \left( 0, 1 \right)\\ {\bar{X}_n - \mu} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(0, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)\\ \bar{X}_n - \mu + \mu & \overset{\mbox{approx}}{\sim}\mu + N \left(0, \frac{\sigma^2}{n} \right)\\ \bar{X}_n & \overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right).\\ \end{align*}$

Это связано с тем, что для случайной величины и констант , (используется на втором шаге) и , (это используется на втором последнем шаге). $X$ $a,b$ $\operatorname{Var}(aX) = a^2 \operatorname{Var}(X)$ $E(b + X) = b + E(X)$ $\operatorname{Var}(b + X) = \operatorname{Var}(X)$

Прочитайте это для более подробного объяснения алгебры.

— Greenparker
источник

Не могли бы вы уточнить, какую «алгебру» вы используете при переносе терминов из LHS of в RHS?

\sim

$\sim$

— Мававиль

Я уточнил алгебру. Большинство из них использует свойства дисперсии и ожидания.

— Гринпаркер

Почему, например, второе слагаемое становится ?

N (μ, \frac{σ^{2}}{n})

$N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$

N (μ, μ + \frac{σ^{2}}{n})

$N(\mu, \mu+\frac{\sigma^2}{n})$

— Мававиль

3

Потому что . Интуитивно понятно, что добавление постоянного числа к случайной переменной не меняет ее дисперсию.

V a r (a X + b) = a^{2} V a r (X)

$Var(aX + b) = a^2 Var(X)$

— Гринпаркер

10

Самый простой способ убедиться в этом - посмотреть на среднее значение и дисперсию случайной величины . $\bar X_n$

Итак, утверждает, что среднее значение равно нулю, а дисперсия равна единице. Следовательно, мы имеем для среднего значения: $\mathcal{N}(0,1)$

E [\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ}] \approx 0

$E\left[\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma}\right]\approx 0$ Использование , где - константы, мы получаем:

E [a \cdot x + b] = a \cdot E [x] + b

$E[a\cdot x+b]=a\cdot E[x]+b$

a, b

$a,b$

{\bar{X}}_{n} \approx μ

$\bar{X}_n\approx\mu$

Теперь, используя , где - константы, получаем следующие для дисперсии: $\operatorname{Var}[a\cdot x+b]=a^2\cdot \operatorname{Var}[x]=a^2\cdot \sigma_x^2$ $a,b$

Var [\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ}] \approx 1

$\operatorname{Var}\left[\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma}\right]\approx 1$

Var [{\bar{X}}_{n}] \approx \frac{σ^{2}}{n}

$\operatorname{Var}\left[\bar{X}_n\right]\approx \frac{\sigma^2}{n}$

Теперь мы знаем среднее значение и дисперсию , а гауссово (нормальное) распределение с этими средним и дисперсией равно $\bar X_n$ $\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$

Вы можете задаться вопросом, зачем проходить через все эти алгебры? Почему бы непосредственно не доказать, что сходится к ? $\bar X_n$ $\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$

Причина в том, что в математике трудно (невозможно?) Доказать сходимость к изменяющимся вещам, т. Е. Правая сторона оператора сходимости должна быть исправлена, чтобы математики могли использовать свои уловки для доказательства утверждений. изменения экспрессии с , что является проблемой. Таким образом, математики преобразуют выражения таким образом, чтобы правая часть была фиксированной, например, - это хорошая фиксированная правая часть. $\rightarrow$ $\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$ $n$ $\mathcal{N}(0,1)$

— Аксакал
источник

4

Это не подразумевает нормальность , кроме как в приближении. Но если мы на мгновение представим, что точно стандартная нормаль, то мы получим результат, что normal когда нормальный . Одним из способов увидеть это является функция, генерирующая момент $\bar{X}_n$ $\sqrt{n} (\bar{X}_n - \mu) / \sigma$ $\tau Z + \mu \sim$ $(\mu, \tau^2)$ $Z \sim$ $(0, 1)$

\begin{aligned} M_{τ Z + μ} (t) & = M_{Z} (τ t) M_{μ} (t) \\ = e^{t^{2} τ^{2} / 2} e^{t μ} \\ = e^{t^{2} τ^{2} / 2 + t μ} \end{aligned}

$\begin{align} M_{\tau Z + \mu}(t) &= M_Z(\tau t) M_\mu (t) \\ &= e^{t^2 \tau^2 / 2} e^{t \mu} \\ &= e^{t^2 \tau^2 / 2 + t \mu} \end{align}$

который является нормальным мгф $(\mu, \tau^2)$

— dsaxton
источник

Почему производящая момент функция доказывает это для распределения?

— Мававиль

1

Это результат вероятности. Если две случайные величины имеют одну и ту же функцию, порождающую моменты, то они имеют одинаковое распределение.

— dsaxton