Этот вопрос касается оценки ограниченного максимального правдоподобия (REML) в конкретной версии линейной модели, а именно:
где - ( ) матрица, параметризованная , как и . \ beta - неизвестный вектор параметров помех; интерес в оценке \ alpha , и мы имеем k \ leq p \ ll n . Оценка модели по максимальной вероятности не проблема, но я хочу использовать REML. Хорошо известно, смотрите , например , LaMotte , что вероятность А ~ , где любая полуортогональной матрица такой , что А'й = 0 можно записать
когда полный ранг столбца .
Моя проблема в том, что для некоторых совершенно разумных и научно интересных матрица не имеет полного ранга столбца. Все выводы , которые я видел в ограниченной вероятности выше использует детерминантных равенствами, которые не применимы при , то есть они берут на себя полный ранг столбца . Это означает, что приведенная выше ограниченная вероятность верна только для моих настроек на части пространства параметров, и, следовательно, это не то, что я хочу оптимизировать.
Вопрос: Существуют ли более общие ограниченные вероятности, полученные в статистической литературе или где-либо еще, без предположения, что будет полным рангом столбца? Если так, то как они выглядят?
Некоторые наблюдения:
- Вывод экспоненциальной части не является проблемой для любого и он может быть записан в терминах обратного Мура-Пенроуза, как указано выше.
- Столбцы являются (любым) ортонормированным базисом дляC ( X ) ⊥
- Для известного вероятность может быть легко записана для каждого , но, конечно, число базисных векторов, то есть столбцов, в зависит от ранга столбцаA ′ Y α A X
Если кто-то заинтересован в этом вопросе, считает, что точная параметризация поможет, дайте мне знать, и я запишу их. Однако в данный момент меня больше всего интересует REML для общего правильных размеров.X
Более подробное описание модели следует здесь. Пусть - векторная авторегрессия первого порядка [VAR (1)], где . Предположим, что процесс начинается с некоторого фиксированного значения в момент времени .г V т I я d ~ N ( 0 , Ω ) у 0 т = 0
Определите . Модель может быть записана в форме линейной модели с использованием следующих определений и обозначений: Y = X β + ε
где обозначает мерный вектор из единиц и первый стандарт базисный вектор . Т - Э 1 , Т Р Т
Обозначим . Обратите внимание, что если не является полным рангом, то не является полным рангом столбца. Это включает, например, случаи, когда один из компонентов не зависит от прошлого.A X ( α ) y t
Идея оценки VAR с использованием REML хорошо известна, например, в литературе по прогнозирующим регрессиям (см., Например, Phillips и Chen и ссылки в них).
Возможно, стоит пояснить, что матрица не является проектной матрицей в обычном смысле, она просто выпадает из модели, и, если нет априорных знаний об то, насколько я могу судить, способа перепараметризации нет. это будет полный ранг.A
Я разместил вопрос на math.stackexchange, который связан с этим вопросом в том смысле, что ответ на математический вопрос может помочь в определении вероятности ответа на этот вопрос.