У этого дистрибутива есть имя?

23

Сегодня мне пришло в голову, что распределение можно рассматривать как компромисс между распределениями Гаусса и Лапласа, дляиИмеет ли такое распределение имя? И есть ли у него выражение для константы нормализации? Исчисление пни меня, потому что я не знаюкак даже начать решать дляв интегральном

f (x) \propto \exp (- \frac{| x - μ |^{p}}{β})

$f(x)\propto\exp\left(-\frac{|x-\mu|^p}{\beta}\right)$

x \in R, p \in [1, 2]

$x\in\mathbb{R}, p\in[1,2]$

β > 0.

$\beta>0.$

C

$C$

1 знак равно С \cdot \int_{- \infty}^{\infty} ехр (- \frac{| Икс - μ |^{п}}{β}) d Икс

$1=C\cdot \int_{-\infty}^\infty \exp\left(-\frac{|x-\mu|^p}{\beta}\right) dx$

— Sycorax говорит восстановить Монику
источник

34

Краткий ответ

PDF-файл, который вы описываете, наиболее уместно известен как распределение Субботина ... см. Статью Субботина в 1923 году, которая имеет точно такую же функциональную форму, скажем, . $Y = X-\mu$

Субботин М.Т. (1923), О законе частоты ошибок, Математический сборник, 31, 296-301.

кто входит в PDF в его уравнении 5, формы:

f (y) = K \exp [- {(\frac{| y |}{σ})}^{p}]

$f(y) = K \exp\left[-\left(\frac{|y|}{\sigma}\right)^p\right]$

с постоянной интегрирования: согласно выводу Сианя, где $K = \large\frac{p}{2 \sigma \Gamma \left(\frac{1}{p}\right)}$ $\beta = \sigma^p$

Более длинный ответ

К сожалению, Википедия не всегда «актуальна», или точна, а иногда и на 80 лет отстает. После Субботина (1923) распространение широко использовалось в литературе, в том числе:

Диананда, PH (1949), Записка о некоторых свойствах оценок максимального правдоподобия, Слушания Кембриджского Философского Общества, 45, 536-544.
Turner, ME (1960), О эвристических методах оценки, Биометрия, 16 (2), 299-301.
Zeckhauser, R. and Thompson, M. (1970), Линейная регрессия с ненормальными терминами ошибок, The Review of Economics and Statistics, 52, 280-286.
McDonald, JB and Newey, WK (1988), Частично адаптивная оценка регрессионных моделей с помощью обобщенного t-распределения, Econometric Theory, 4, 428-457.
Джонсон Н.Л., Котц С. и Балакришнан Н. (1995), Непрерывные одномерные распределения, том 2, 2-е издание, Wiley: New York (1995, p.422)
Mineo, AM и Ruggieri, M. (2005), Программный инструмент для распределения экспоненциальной мощности: пакет normalp, Journal of Statistical Software, 12 (4), 1-21.

... все до публикации статьи в вики. Помимо того, что 80 лет устарели, название, используемое в вики «Обобщенный нормальный», также кажется неуместным, потому что существует бесконечное число распределений, которые являются обобщениями нормального, и имя, в любом случае, неоднозначно для литературы. Это также не в состоянии признать оригинального автора.

— wolfies
источник

17

\int_{0}^{\infty} \exp {- x^{p}} d x \overset{y = x^{p}}{=} \int_{0}^{\infty} \exp {- y} | \frac{d x}{d y} | d y \overset{x = y^{1 / p}}{=} \int_{0}^{\infty} \exp {- y} \frac{1}{p} y^{\frac{1}{p} - 1} d y = Γ (1 / p) \frac{1}{p}

$\int_0^\infty \exp\{−x^p\}\text{d}x\stackrel{y=x^p}{=}\int_0^\infty \exp\{−y\}\left|\dfrac{\text{d}x}{\text{d}y}\right|\text{d}y\stackrel{x=y^{1/p}}{=}\int_0^\infty \exp\{−y\}\frac{1}{p}y^{\frac{1}{p}-1}\text{d}y=\Gamma(1/p)\frac{1}{p}$

\int_{- \infty}^{\infty} \exp {- β^{- 1} | x - μ |^{p}} d x = \frac{2 Γ (1 / p)}{p} β^{1 / p}

$\int_{-\infty}^\infty \exp\{−\beta^{-1}|x-\mu|^p\}\text{d}x=\dfrac{2\Gamma(1/p)}{p}\beta^{1/p}$

— Xi'an
источник

2

D'oh. Of course. And chance you happen to know if it has a name?

— Sycorax says Reinstate Monica

1

It is somewhat connected with the[ Weibull and Fréchet distributions](en.wikipedia.org/wiki/…), however those have a power term in front of the exponential. It is thus more of a Gaussian distribution for another metric that the quadratic distance.

— Xi'an

1

+1 It wouldn't be wrong to call this a "power Gamma" distribution.

— whuber

13

According to Wikipedia, this is known as Generalized normal distribution (version 1 in the article), and the restriction $p\in [1,2]$ is not required but any positive value is fine.

The reference given in Wikipedia is Saralees Nadarajah (2005) A generalized normal distribution, Journal of Applied Statistics, 32:7, 685-694, DOI: 10.1080/02664760500079464. This article mentions that the normalization constant is found by 'simple integration' - I presume following Xi'an's answer.

— Juho Kokkala
источник