Спасибо за этот простой, но глубокий вопрос о фундаментальных статистических понятиях среднего, среднего и модуса. Есть несколько замечательных методов / демонстраций, доступных для объяснения и понимания интуитивного, а не арифметического понимания этих концепций, но, к сожалению, они не широко известны (или, насколько мне известно, преподаются в школе).
Жадный:
1. Точка равновесия: имеется в виду как точка опоры
Лучший способ понять концепцию - это думать о ней как о точке равновесия на равномерном стержне. Представьте себе серию точек данных, таких как {1,1,1,3,3,6,7,10}. Если каждая из этих точек отмечена на равномерном стержне и в каждой точке размещены одинаковые веса (как показано ниже), то точка опоры должна быть помещена в среднее значение данных для баланса стержня.
Эта наглядная демонстрация также приводит к арифметической интерпретации. Арифметическое обоснование этого заключается в том, что для того, чтобы точка опоры уравновесилась, общее отрицательное отклонение от среднего значения (с левой стороны точки опоры) должно равняться общему положительному отклонению от среднего значения (с правой стороны). Следовательно, среднее действует как точка балансировки в распределении.
Это визуальное представление позволяет сразу понять среднее значение, поскольку оно относится к распределению точек данных. Другое свойство среднего значения, которое становится очевидным из этой демонстрации, состоит в том, что среднее значение всегда будет находиться между минимальным и максимальным значениями в распределении. Кроме того, эффект выбросов может быть легко понят - то, что наличие выбросов будет сдвигать точку уравновешивания и, следовательно, влиять на среднее значение.
2. Перераспределение (справедливая доля) стоимости
Еще один интересный способ понять среднее значение - думать о нем как о значении перераспределения . Эта интерпретация требует некоторого понимания арифметики, лежащей в основе вычисления среднего значения, но она использует антропоморфическое качество, а именно социалистическую концепцию перераспределения, для интуитивного понимания концепции среднего.
Расчет среднего значения включает суммирование всех значений в распределении (наборе значений) и деление суммы на количество точек данных в распределении.
Икс¯= ( ∑я = 1NИкся) / n
Один из способов понять обоснование этого расчета - думать о каждой точке данных как о яблоках (или о каком-то другом элементе, который может быть использован). Используя тот же пример, что и раньше, в нашей выборке восемь человек: {1,1,1,3,3,6,7,10}. У первого человека есть одно яблоко, у второго - одно яблоко и так далее. Теперь, если кто-то хочет перераспределить количество яблок так, чтобы оно было «справедливым» для всех, вы можете использовать среднее значение распределения, чтобы сделать это. Другими словами, вы можете дать каждому четыре яблока (то есть среднее значение), чтобы распределение было справедливым / равным. Эта демонстрация дает интуитивное объяснение вышеприведенной формулы: деление суммы распределения на количество точек данных эквивалентно делению всего распределения на равные части всех точек данных.
3. Визуальная мнемоника
Следующие визуальные мнемоники обеспечивают уникальную интерпретацию среднего значения:
Это мнемоника для интерпретации среднего значения выравнивания . Высота перекладины А является средним значением высот четырех букв.
И это еще одна мнемоника для интерпретации среднего значения точки баланса . Положение точки опоры примерно соответствует среднему положению М, Е и удвоенной N.
медиана
Когда интерпретация среднего значения как точки уравновешивания на стержне понята, медиана может быть продемонстрирована путем расширения той же идеи: уравновешивающей точки на ожерелье .
Замените стержень на веревочку, но сохраняйте данные маркировки и веса. Затем на концах прикрепите вторую нитку, длиннее первой, чтобы образовать петлю [как ожерелье], и накройте петлю поверх хорошо смазанного шкива.
Предположим сначала, что веса различны. Шкив и петля балансируются, когда одинаковое количество грузов находится на каждой стороне. Другими словами, цикл «балансирует», когда медиана является самой низкой точкой.
Обратите внимание, что если один из весов перемещается вверх по циклу, создавая выброс, цикл не перемещается. Это физически демонстрирует принцип, согласно которому медиана не подвержена влиянию выбросов.
Режим
Режим, вероятно, является самым простым понятием для понимания, так как он включает в себя основную математическую операцию: подсчет. Тот факт , что он равен наиболее часто встречающиеся точки данных приводят к аббревиатуре: « М ост-часто О ccurring Д ата Е lement».
Режим также можно рассматривать как наиболее типичное значение в наборе. (Хотя более глубокое понимание «типичного» привело бы к репрезентативному или среднему значению. Однако целесообразно приравнивать «типичный» к моде, основанной на очень буквальном значении слова «типичный».)
Источники:
- Медиана - это точка равновесия - Линч, The College Matmatics Journal (2009)
- Делаем статистику запоминающейся: новые мнемоники и мотивации - Меньше, Статистическое образование, JSM (2011)
- Об использовании мнемоники для преподавания статистики - Меньше, Статистика с использованием моделей и приложения, 6 (2), 151-160 (2011)
- Что значит среднее? - Watier, Lamontagne and Chartier, журнал статистики образования, том 19, номер 2 (2011)
- Типичные? Детские и педагогические идеи о среднем - Рассел и Мокрос, ICOTS 3 (1990) ОБЩАЯ СПРАВКА: http://www.amstat.org/publications/jse/v22n3/lesser.pdf