Доказать связь между расстоянием Махаланобиса и кредитным плечом?

Я видел формулы в Википедии. которые касаются расстояния Махаланобиса и плеча:

Расстояние Махаланобиса тесно связано со статистикой кредитного плеча , но имеет другой масштаб: $h$
$D^{2} = (N - 1) (h - \frac{1}{N}) .$ $D^2 = (N - 1)(h - \tfrac{1}{N}).$

В связанной статье Википедия описывает $h$ в следующих терминах:

В модели линейной регрессии, оценка рычагов для $i^{th}$ блока данных определяются как:
$h_{i i} = (H)_{i i},$ $h_{ii}=(H)_{ii},$ $i^{th}$ диагонального элемента шлема матрица $H=X(X^{\top}X)^{-1}X^{\top}$ , где $^{\top}$ обозначает транспонирование матрицы.

Я не могу найти доказательств нигде. Я пытался начать с определений, но я не могу добиться прогресса. Кто-нибудь может дать намек?

— dave2d
источник

Мое описание расстояния Махаланобиса в нижней части вверху объяснение расстояния Махаланобиса? включает в себя два ключевых результата:

По определению, оно не меняется, когда регрессоры равномерно смещены.
Квадратное расстояние Махаланобиса между векторами и определяется как где - ковариация данных. $x$ $y$
$D^{2} (x, y) = (x - y)^{'} Σ^{- 1} (x - y)$ $D^2(x,y) = (x-y)^\prime \Sigma^{-1}(x-y)$ $\Sigma$

(1) позволяет предположить, что все средства регрессоров равны нулю. Осталось вычислить . Однако, чтобы утверждение было верным, нам нужно добавить еще одно предположение: $h_i$

Модель должна включать в себя перехват.

Учитывая это, пусть будет регрессоров и данных, записывающих значение регрессора для наблюдения как . Пусть вектор столбцов этих значений для регрессора будет записан а вектор строки этих значений для наблюдения будет записан . Тогда матричная модель является $k \ge 0$ $n$ $j$ $i$ $x_{ij}$ $n$ $j$ $\mathbf{x}_{,j}$ $k$ $i$ $\mathbf{x}_i$

X = (\begin{matrix} 1 & x_{11} & \dots & x_{1 k} \\ 1 & x_{21} & \dots & x_{2 k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & x_{n 1} & \dots & x_{n k} \end{matrix})

$X = \pmatrix{ 1 &x_{11} &\cdots &x_{1k} \\ 1 &x_{21} &\cdots &x_{2k} \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ 1 &x_{n1} &\cdots &x_{nk}}$

и, по определению, матрица шляпы

H = X (X^{'} X)^{- 1} X^{'},

$H = X(X^\prime X)^{-1} X^\prime,$

откуда запись по диагонали $i$

\begin{matrix} (1) & h_{i} = h_{i i} = (1; x_{i}) (X^{'} X)^{- 1} (1; x_{i})^{'} . \end{matrix}

$h_i = h_{ii} = (1; \mathbf{x}_i) (X^\prime X)^{-1} (1; \mathbf{x}_i)^\prime.\tag{1}$

Для этого нет ничего, кроме как отработать эту обратную центральную матрицу - но благодаря первому ключевому результату это легко, особенно когда мы пишем ее в блочно-матричной форме:

X^{'} X = n (\begin{matrix} 1 & 0^{'} \\ 0 & C \end{matrix})

$X^\prime X = n\pmatrix{1 & \mathbf{0}^\prime \\ \mathbf{0} & C}$

где и $\mathbf{0} = (0,0,\ldots,0)^\prime$

C_{j k} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i j} x_{i k} = \frac{n - 1}{n} Cov (x_{j}, x_{k}) = \frac{n - 1}{n} Σ_{j k} .

$C_{jk} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_{ij} x_{ik} = \frac{n-1}{n}\operatorname{Cov}(\mathbf{x}_j, \mathbf{x}_k) = \frac{n-1}{n}\Sigma_{jk}.$

(Я написал для выборочной ковариационной матрицы регрессоров.) Поскольку это диагональ блока, ее обратное можно найти, просто инвертировав блоки: $\Sigma$

(X^{'} X)^{- 1} = \frac{1}{n} (\begin{matrix} 1 & 0^{'} \\ 0 & C^{- 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{1}{n} & 0^{'} \\ 0 & \frac{1}{n - 1} Σ^{- 1} \end{matrix}) .

$(X^\prime X)^{-1} = \frac{1}{n}\pmatrix{1 & \mathbf{0}^\prime \\ \mathbf{0} & C^{-1}} = \pmatrix{\frac{1}{n} & \mathbf{0}^\prime \\ \mathbf{0} & \frac{1}{n-1}\Sigma^{-1}}.$

Из определения получаем $(1)$

\begin{aligned} h_{i} & = (1; x_{i}) (\begin{matrix} \frac{1}{n} & 0^{'} \\ 0 & \frac{1}{n - 1} Σ^{- 1} \end{matrix}) (1; x_{i})^{'} \\ = \frac{1}{n} + \frac{1}{n - 1} x_{i} Σ^{- 1} x_{i}^{'} \\ = \frac{1}{n} + \frac{1}{n - 1} D^{2} (x_{i}, 0) . \end{aligned}

$\eqalign{ h_i &= (1; \mathbf{x}_i) \pmatrix{\frac{1}{n} & \mathbf{0}^\prime \\ \mathbf{0} & \frac{1}{n-1}\Sigma^{-1}}(1; \mathbf{x}_i)^\prime \\ &=\frac{1}{n} + \frac{1}{n-1}\mathbf{x}_i \Sigma^{-1}\mathbf{x}_i^\prime \\ &=\frac{1}{n} + \frac{1}{n-1} D^2(\mathbf{x}_i, \mathbf{0}). }$

Решение для квадрата длины Махаланобиса дает $D_i^2 = D^2(\mathbf{x}_i, \mathbf{0})$

D_{i}^{2} = (n - 1) (h_{i} - \frac{1}{n}),

$D_i^2 = (n-1)\left(h_i - \frac{1}{n}\right),$

КЕД .

Оглядываясь назад, можно проследить аддитивный член в присутствии перехвата, который ввел столбец единиц в модель матрицы . Мультипликативный член появился после того, как предполагалось, что расстояние Махаланобиса будет вычислено с использованием выборочной ковариационной оценки (которая делит суммы квадратов и произведений на ), а не ковариационной матрицы данных (которая делит сумму квадратов и продукты по ). $1/n$ $X$ $n-1$ $n-1$ $n$

Главная ценность этого анализа заключается в том, чтобы придать левереджу геометрическую интерпретацию, которая измеряет, насколько единичное изменение в ответе при наблюдении изменит подходящее значение при этом наблюдении: наблюдения с высоким левериджем находятся на больших расстояниях Махаланобиса от центроида из регрессоров, точно так же, как механически эффективный рычаг работает на большом расстоянии от своей точки опоры. $i$

R код, чтобы показать, что отношение действительно имеет место:

x <- mtcars

# Compute Mahalanobis distances
h <- hat(x, intercept = TRUE); names(h) <- rownames(mtcars)
M <- mahalanobis(x, colMeans(x), cov(x))

# Compute D^2 of the question
n <- nrow(x); D2 <- (n-1)*(h - 1/n)

# Compare.
all.equal(M, D2)               # TRUE
print(signif(cbind(M, D2), 3))

— Whuber
источник

Отличный ответ, очень хорошо округленный с строгостью и интуицией. Ура!

— cgrudz

Спасибо за сообщение @whuber! Для проверки работоспособности, вот код R, чтобы показать, что отношение действительно выполняется: x <- mtcars rownames (x) <- NULL colnames (x) <- NULL n <- nrow (x) h <- hat (x, T) mahalanobis (x, colMeans (x), cov (x)) (n-1) * (h - 1 / n) all.equal (махаланобис (x, colMeans (x), cov (x)), (n-1 ) * (ч - 1 / н))

— Тал Галили

@ Я не думал, что мне нужна проверка работоспособности, но спасибо за код. :-) Я внес изменения, чтобы прояснить это и его вывод немного.

— whuber

@whuber, я хотел пример, который показывает, как сделать равенство работающим (давая понять, что я правильно понял предположения). Я также расширил соответствующую запись в вики: en.wikipedia.org/wiki/… (не стесняйтесь и тратить на это там, как считаете нужным :))

— Tal