Является ли нормальность сустава необходимым условием для того, чтобы сумма нормальных случайных величин была нормальной?

13

В комментариях после этого моего ответа на связанный вопрос пользователи ssdecontrol и Glen_b спросили, необходима ли совместная нормальность $X$ и $Y$ для утверждения нормальности суммы $X+Y$ ? Эта совместная нормальность достаточна , конечно, хорошо известна. Этот дополнительный вопрос там не рассматривался, и, возможно, его стоит рассмотреть отдельно.

Поскольку совместная нормальность подразумевает предельную нормальность, я спрашиваю

Существуют ли нормальные случайные величины $X$ и $Y$ такие, что $X+Y$ является нормальной случайной величиной, но $X$ и совместно не $Y$ являются нормальными случайными величинами?

Если $X$ и $Y$ не обязаны иметь нормальные распределения, то легко найти такие нормальные случайные величины. Один пример можно найти в моем предыдущем ответе (ссылка приведена выше). Я считаю, что ответом на выделенный выше вопрос является «Да», и опубликовал (как мне кажется) пример в качестве ответа на этот вопрос.

— Дилип Сарватэ
источник

2

Как вы хотите бороться с вырожденными распределениями? Например, если

- стандартная нормаль, а

, то совместное распределение

и

- вырожденное нормальное распределение, а

- стандартная нормаль.

X

$X$

Y = - 2 X

$Y=-2X$

X

$X$

Y

$Y$

X + Y

$X+Y$

— Брайан Борчерс

@BrianBorchers

и

- совместно нормальные случайные величины, даже если распределение вырожденное, как вы говорите. Стандартное определение совместной нормальности состоит в том, что

и

совместно нормальны, если

является нормальным для всех вариантов

. Здесь

X

$X$

Y = - 2 X

$Y = -2X$

X

$X$

Y

$Y$

a X + b Y

$aX+bY$

(a, b)

$(a,b)$

(a, b) = (0, 0)

$(a,b) = (0,0)$ является вырожденным случаем, который, тем не менее, называется нормальной случайной величиной в качестве любезности.

— Дилип Сарвате

11

Пусть это . $U,V$ $N(0,1)$

Теперь преобразуйте следующим образом: $(U,V) \to (X,Y)$

$U>0,V>0$ $X=\max(U,V)$ $Y = \min(U,V)$

Для других квадрантов поверните это отображение относительно источника.

Результирующее двумерное распределение выглядит так (видно сверху):

$\hspace{1.5 cm}$

- фиолетовый представляет регионы с удвоенной вероятностью, а белые - без вероятности. Черные круги - это контуры постоянной плотности (везде на окружности для , но внутри каждой цветной области для ). $(U,V)$ $(X,Y)$

По симметрии и и - стандартная норма (если смотреть вниз по вертикальной линии или вдоль горизонтальной линии, то для каждой белой точки будет фиолетовая точка, которую мы можем рассматривать как перевернутую через ось, которую пересекает горизонтальная или вертикальная линия) $X$ $Y$
но явно не двумерно нормальны, и $(X,Y)$
$X+Y = U+V$ есть (эквивалентно, посмотрите вдоль линий постоянной и увидите, что мы имеем симметрию, аналогичную той, что мы обсуждали в 1., но на этот раз о линия) $\sim N(0,2)$ $X+Y$ $Y=X$

— Glen_b - Восстановить Монику
источник

1

+1 и Принять; эта конструкция намного приятнее, чем в моем собственном ответе!

— Дилип Сарвате

5

Рассмотрим совместно непрерывные случайные величины с совместной функцией плотности где обозначает стандартную функцию нормальной плотности. $U, V, W$

\begin{aligned} (1) & f_{U, V, W} (u, v, w) = {\begin{cases} 2 ϕ (u) ϕ (v) ϕ (w) & if u \geq 0, v \geq 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v < 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v \geq 0, w < 0, \\ or if u \geq 0, v < 0, w < 0, \\ 0 & otherwise \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} f_{U,V,W}(u,v,w) = \begin{cases} 2\phi(u)\phi(v)\phi(w) & ~~~~\text{if}~ u \geq 0, v\geq 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v < 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v\geq 0, w < 0,\\ & \text{or if}~ u \geq 0, v< 0, w < 0,\\ & \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\tag{1} \end{align}$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$

Ясно, что и являются зависимыми случайными величинами. Также ясно, что они не являются совместно нормальными случайными величинами. Однако все три пары являются попарно независимыми случайными переменными: фактически, независимыми стандартными нормальными случайными переменными (и, таким образом, попарно совместно нормальными случайными переменными). Вкратце, являются примером попарно независимых, но не взаимно независимых нормальных случайных величин. Смотрите этот мой ответ для более подробной информации. $U, V$ $W$ $(U,V), (U,W), (V,W)$ $U,V,W$

Обратите внимание, что парная независимость дает нам то, что и все являются нормальными случайными величинами с нулевым средним с дисперсией . Теперь давайте определим и отметим, что также является нормальной случайной величиной с нулевым средним с дисперсией . Кроме того, , и поэтому и являются зависимыми и коррелированными случайными величинами. $U+V, U+W$ $V-W$ $2$

\begin{matrix} (2) & X = U + W, Y = V - W \end{matrix}

$X = U+W, ~Y = V-W \tag{2}$

X + Y = U + V

$X+Y = U+V$

2

$2$

cov (X, Y) = - var (W) = - 1

$\operatorname{cov}(X,Y) = -\operatorname{var}(W) = -1$

X

$X$

Y

$Y$

$X$ и являются (коррелированными) нормальными случайными переменными, которые не являются совместно нормальными, но обладают свойством, что их сумма является нормальной случайной величиной. $Y$ $X+Y$

Иными словами, совместная нормальность является достаточным условием для утверждения нормальности суммы нормальных случайных величин, но не является обязательным условием.

Доказательство того, что и не являются совместно нормальными, так $X$ $Y$
как преобразование является линейным, легко получить, что . Поэтому мы имеем, что Но у есть свойство отличаться от нуля только тогда, когда ровно один или все три его аргумента неотрицательны. Теперь предположим, что . Тогда имеет значение для $(U,V,W) \to (U+W, V-W, W) = (X,Y,W)$ $f_{X,Y,W}(x, y, w) = f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)$

f_{X, Y} (x, y) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y, W} (x, y, w) d w = \int_{- \infty}^{\infty} f_{U, V, W} (x - w, y + w, w) d w

$f_{X,Y}(x,y) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y,W}(x,y,w)\,\mathrm dw = \int_{-\infty}^\infty f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)\,\mathrm dw$

f_{U, V, W}

$f_{U,V, W}$

x, y > 0

$x, y > 0$

f_{U, V, W} (x - w, y + w, w)

$f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)$

2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w)

$2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)$

w \in (- \infty, - y) \cup (0, x)

$w \in (-\infty,-y) \cup (0,x)$ и противном случае. Таким образом, для , Теперь и, расширив и выполнив некоторую перестановку подынтегральных выражений в , мы можем написать где - нормальное случайное число переменная со средним значением

0

$0$

x, y > 0

$x, y > 0$

\begin{matrix} (3) & f_{X, Y} (x, y) = \int_{- \infty}^{- y} 2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w) d w + \int_{0}^{x} 2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w) d w . \end{matrix}

$f_{X,Y}(x,y) = \int_{-\infty}^{-y} 2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)\,\mathrm dw + \int_0^x 2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)\,\mathrm dw.\tag{3}$

\begin{aligned} (x - w)^{2} + (y + w)^{2} + w^{2} & = 3 w^{2} - 2 w (x - y) + x^{2} + y^{2} \\ = \frac{w^{2} - 2 w (\frac{x - y}{3}) + {(\frac{x - y}{3})}^{2}}{1 / 3} - \frac{1}{3} (x - y)^{2} + x^{2} + y^{2} \end{aligned}

$\begin{align} (x-w)^2 + (y+w)^2 + w^2 &= 3w^2 -2w(x-y) + x^2 + y^2\\ &= \frac{w^2 - 2w\left(\frac{x-y}{3}\right) + \left(\frac{x-y}{3}\right)^2}{1/3} -\frac 13(x-y)^2 + x^2 + y^2 \end{align}$

2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w)

$2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)$

(3)

$(3)$

\begin{matrix} (4) & f_{X, Y} (x, y) = g (x, y) [P {T \leq - y} + P {0 < T \leq x}] \end{matrix}

$f_{X,Y}(x,y) = g(x,y)\big[P\{T \leq -y\} + P\{0 < T \leq x\}\big] \tag{4}$

T

$T$

\frac{x - y}{3}

$\frac{x-y}{3}$ и дисперсия . Оба члена в квадратных скобках включают в себя стандартный нормальный CDF с аргументами, которые являются (разными) функциями как и . Таким образом, является не двумерный нормальной плотностью даже если оба и являются нормальными случайными величинами, а их суммой является нормальной случайной величиной.

\frac{1}{3}

$\frac 13$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

x

$x$

y

$y$

f_{X, Y}

$f_{X,Y}$

X

$X$

Y

$Y$

Комментарий: Совместной нормальности и достаточно для нормальности но это также подразумевает гораздо больше: является нормальным для всех вариантов . Здесь нам нужно, чтобы было нормальным только для трех вариантов , а именно, где первые два применяют часто игнорируемое условие (см., например, ответ по ), что (предельные) плотности и должны быть нормальными, а третье говорит о том, что сумма также должна иметь нормальную плотность. Таким образом, мы можем $X$ $Y$ $X+Y$ $aX+bY$ $(a,b)$ $aX+bY$ $(a,b)$ $(1,0), (0,1), (1,1)$ $Y.H.$ $X$ $Y$ есть нормальные случайные величины, которые не являются совместно нормальными, но чья сумма нормальная, потому что нам все равно, что случится с другими вариантами . $(a,b)$

— Дилип Сарватэ
источник