Как сделать выборку из дискретного распределения по неотрицательным целым числам?

10

У меня есть следующее дискретное распределение, где - известные константы: $\alpha,\beta$

p (x; α, β) = \frac{Beta (α + 1, β + x)}{Beta (α, β)} for x = 0, 1, 2, \dots

$p(x;\alpha,\beta) = \frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)} \;\;\;\;\text{for } x = 0,1,2,\dots$

Каковы некоторые подходы для эффективной выборки из этого распределения?

— ИСИ
источник

9

Это бета-отрицательное биномиальное распределение с параметром $r=1$ в вашем случае с использованием записи Википедии. Он также называется бета-Паскаль распределения, когда $r$ является целым числом. Как вы отметили в комментарии, это прогнозное распределение в байесовской отрицательной биномиальной модели с сопряженной бета-оценкой до вероятности успеха.

Таким образом, вы можете сэмплировать его, выбрав переменную и затем выбрав отрицательную биномиальную переменную (с в вашем случае, то есть с геометрическим распределением). $\text{Beta}(\alpha,\beta)$ $u$ $\text{NB}(r,u)$ $r=1$

Это распределение осуществляется в пакете R brr. У сэмплера есть имя rbeta_nbinom, у pmf есть имя dbeta_nbinomи т. Д. Обозначения , , . Проверьте: $a=r$ $c=\alpha$ $d=\beta$

> Alpha <- 2; Beta <- 3
> a <- 1
> all.equal(brr::dbeta_nbinom(0:10, a, Alpha, Beta), beta(Alpha+a, Beta+0:10)/beta(Alpha,Beta))
[1] TRUE

Глядя на код, можно увидеть, что он на самом деле вызывает ghyper(обобщенно гипергеометрическое) семейство распределений SuppDistsпакета:

brr::rbeta_nbinom
function(n, a, c, d){
  rghyper(n, -d, -a, c-1)
}

В самом деле, распределение BNB известно как обобщенное гипергеометрическое распределение типа IV . Смотрите помощь ghyperв SuppDistsпакете. Я полагаю, что это также можно найти в книге Джонсона и др. Univariate Discrete Distribution .

— Стефан Лоран
источник

Этот ответ хорош, но было бы еще лучше, если бы вы доказали, что опубликованная ОП плотности равна отрицательной биномиальной плотности.

— Sycorax говорит восстановить Monica

1

@ user777 Я думаю, что автор ОП доказал это сам, учитывая его комментарий к ответу Сианя (апостериорное предиктивное распределение в отрицательной биномиальной модели с сопряженной бета-версией).

— Стефан Лоран

10

Учитывая, что уменьшается с ростом, я предлагаю сгенерировать равномерную переменнуюи вычислить накопленные суммы

\frac{Бета (α + 1, β + Икс)}{Бета (α, β)} знак равно \frac{α}{α + β + Икс} \frac{β + Икс - 1}{α + β + Икс - 1} \dots \frac{β}{α + β}

$\frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta+x}\dfrac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x-1}\cdots\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}$

x

$x$

u \sim U (0, 1)

$u\sim\mathcal{U}(0,1)$

пока

Тогда реализация будет равна соответствующему

. Поскольку

S_{К} знак равно Σ_{Икс знак равно 0}^{К} \frac{Бета (α + 1, β + Икс)}{Бета (α, β)}

$S_k=\sum_{x=0}^k \frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}$

S_{К} > U

$S_k>u$

k

$k$

и

в вычислениях можно полностью избежать использования гамма-функций.

\begin{aligned} р_{Икс} & знак равно \frac{Бета (α + 1, β + Икс)}{Бета (α, β)} \\ знак равно \frac{α}{α + β + Икс} \frac{β + Икс - 1}{α + β + Икс - 1} \dots \frac{β}{α + β} \\ знак равно \frac{α + β + Икс - 1}{α + β + Икс} \frac{β + Икс - 1}{α + β + Икс - 1} р_{Икс - 1} \\ знак равно \frac{β + Икс - 1}{α + β + Икс} р_{Икс - 1} \end{aligned}

$\eqalign{R_x&=\frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}\\&=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta+x}\dfrac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x-1}\cdots\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\\&=\frac{\alpha+\beta+x-1}{\alpha+\beta+x}\frac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x-1}R_{x-1}\\&=\frac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x}R_{x-1}}$

S_{К} знак равно S_{К} - 1 + р_{К}

$S_k=S_k-1+R_k$

— Сиань
источник

1

S_{k} = 1 - \frac{Γ (a + b) Γ (b + k + 1)}{Γ (b) Γ (a + b + k + 1)}

$S_k = 1-\frac{\Gamma (a+b) \Gamma (b+k+1)}{\Gamma (b) \Gamma (a+b+k+1)}$

1

k

$k$

u

$u$

α

$\alpha$

β

$\beta$

u

$u$

Γ (b + k + 1)

$\Gamma(b+k+1)$

Γ (a + b + k + 1)

$\Gamma(a+b+k+1)$

α

$\alpha$

β

$\beta$ оба являются целочисленными, то решение является корнем многочлена, но даже в этом случае использование гаммы может быть верным решением.

— whuber

1

p

$p$