Для интуиции, каковы некоторые реальные примеры некоррелированных, но зависимых случайных величин?

Объясняя, почему некоррелированные не подразумевают независимость, есть несколько примеров, которые включают в себя группу случайных величин, но все они кажутся такими абстрактными: 1 2 3 4 .

Этот ответ, кажется, имеет смысл. Моя интерпретация: случайная величина и ее квадрат могут быть некоррелированными (поскольку, очевидно, отсутствие корреляции является чем-то вроде линейной независимости), но они явно зависят.

Я предполагаю, что примером будет то, что (стандартизированные?) Высота и высота могут быть некоррелированными, но зависимыми, но я не понимаю, почему кто-то хотел бы сравнить высоту и высоту . $^2$ $^2$

Для того, чтобы дать новичку интуицию в элементарной теории вероятностей или аналогичных целях, каковы некоторые реальные примеры некоррелированных, но зависимых случайных величин?

— BCLC
источник

Это не отвечает на ваш вопрос, но кажется уместным: иногда rv и его квадрат коррелируют, а иногда и не коррелируют. Например, если X равномерно на [0,1], то X и X ^ 2 некоррелированы. Но если X равномерно на [-1, 1], то X и X ^ 2 не коррелированы. (Нарисуйте картинку, чтобы помочь увидеть это.) Однако в обоих случаях X и X ^ 2 являются зависимыми.

— Марта

@ Марта, в твоем комментарии есть опечатка. Я думаю, что это первый «некоррелированный», который должен быть «коррелированный». ;)

— Старик в море.

@ Anoldmaninthesea коррелирует и иногда коррелирует?

— BCLC

@BCLC "если X равномерно на [0,1], то X и X ^ 2 некоррелированы." Должно быть "если X равномерно на [0,1], то X и X ^ 2 коррелированы.", Я думаю.

— Старик в море.

@Anoldmaninthesea Вы правы: связано с [0,1], но не связано с [-1,1]. Спасибо за указание на опечатку.

— Марта

Ответы:

В финансах здесь широко цитируются эффекты GARCH (обобщенная авторегрессионная условная гетероскедастичность) : доходность акций , при цена в момент времени , сами по себе не связаны с свое прошлое если фондовые рынки эффективны (иначе вы могли бы легко и выгодно предсказать, куда идут цены), но их квадраты и $r_t:=(P_t-P_{t-1})/P_{t-1}$ $P_t$ $t$ $r_{t-1}$ $r_t^2$ - нет: существует зависимость от времени в дисперсиях, которые группируются во времени, с периодами высокой дисперсии в изменчивые времена. $r_{t-1}^2$

Вот искусственный пример (еще раз, я знаю, но «реальная» серия возвратов акций вполне может выглядеть похожей):

Вы видите кластер высокой волатильности, в частности, . $t\approx400$

Создано с помощью

library(TSA)
garch01.sim <- garch.sim(alpha=c(.01,.55),beta=0.4,n=500)
plot(garch01.sim, type='l', ylab=expression(r[t]),xlab='t')

— Кристоф Ханк
источник

Спасибо доблестному северному оленю Ханку. Немного строгости, пожалуйста? ^ - ^ Под акциями вы подразумеваете Rt = (St + 1-St) / St? Квадраты St или квадраты или Rt?

— BCLC

Я добавил небольшое уточнение

— Кристоф Ханк

Это R?

$\$

— BCLC

Это Р. Требуется пакет TSA .

— Толивейра

Простой пример - двумерное распределение, которое является однородным на пончиковой области. Переменные некоррелированы, но явно зависимы - например, если вы знаете, что одна переменная близка к ее среднему значению, то другая должна быть далека от ее среднего значения.

— Русь Лент
источник

Что именно две переменные?

— BCLC

X

$X$

Y

$Y$

f (x, y) = 1 / 3 π

$f(x,y) = 1 / 3\pi$

1 < x^{2} + y^{2} < 2

$1 < x^2+y^2 < 2$

0

$0$

Ну, я думаю, физические примеры - это реальная жизнь. Спасибо рвл. Почему твой пример правдив?

— BCLC

Нарисуйте график области, где плотность отлична от нуля, и подумайте об этом.

— Расс Лент

Я обнаружил, что следующий рисунок из вики очень полезен для интуиции. В частности, в нижнем ряду показаны примеры некоррелированных, но зависимых распределений.

Заголовок приведенного выше графика в вики: несколько наборов (x, y) точек с коэффициентом корреляции Пирсона x и y для каждого набора. Обратите внимание, что корреляция отражает шумность и направление линейных отношений (верхний ряд), но не наклон этой связи (средний), а также многие аспекты нелинейных отношений (внизу). Примечание: фигура в центре имеет наклон 0, но в этом случае коэффициент корреляции не определен, поскольку дисперсия Y равна нулю.

— yuqian
источник