Действительно ли теорема Слуцкого остается в силе, когда две последовательности сходятся к невырожденной случайной величине?

12

Я запутался в некоторых деталях о теореме Слуцкого :

Пусть , - две последовательности скалярных / векторных / матричных случайных элементов. $\{X_n\}$ $\{Y_n\}$

Если сходится по распределению к случайному элементу а сходится по вероятности к константе , то при условии, что обратим, где обозначает сходимость в распределении. $X_n$ $X$ $Y_n$ $c$
$\begin{aligned} X_{n} + Y_{n} & \overset{d}{\to} X + c \\ X_{n} Y_{n} & \overset{d}{\to} c X \\ X_{n} / Y_{n} & \overset{d}{\to} X / c, \end{aligned}$ $\eqalign{ X_{n}+Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X+c\\ X_{n}Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ cX\\ X_{n}/Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X/c, }$ $c$ ${\xrightarrow {d}}$

Если обе последовательности в теореме Слуцкого обе сходятся к невырожденной случайной переменной, остается ли эта теорема действительной, и если нет (кто-то может привести пример?), Каковы дополнительные условия, чтобы сделать ее действительной?

— Николас Н
источник

15

Теорема Слуцкого не распространяется на две последовательности, сходящиеся в распределениях к случайной переменной. Если сходится по распределению к , вполне может не сойтись или могут сходиться к чему - то другому , чем . $Y_n$ $Y$ $X_n+Y_n$ $X+Y$

Например, если для всех -х, не сходится к разности двух случайных величин с распределением же как . $Y_n=-X_n$ $n$ $X_n+Y_n$ $X$

Другой контрпример - это когда последовательности и независимы и оба сходятся в распределении к нормальной переменной , если определено и , затем Подробнее об этом примере см. В ответе Davide . $\{X_n\}$ $\{Y_n\}$ $\text{N}(0,1)$ $X_1\sim\text{N}(0,1)$ $X_2=-X_1$

\begin{aligned} X_{n} & \overset{d}{\to} X_{1} \\ Y_{n} & \overset{d}{\to} X_{2} \\ X_{n} + Y_{n} & ⧸ \overset{d}{\to} X_{1} + X_{2} = 0 \end{aligned}

$\eqalign{X_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X_1\\Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X_2\\X_{n}+Y_{n}\ &\not{{\xrightarrow {d}}}\ X_1+X_2=0}$

— Сиань
источник

2

Чтобы его расширить, нужно нечто большее, например, независимость.

— kjetil b halvorsen

Правильно ли я считаю, что если обе последовательности вместо этого сходятся к константе, Слуцкий все еще применяется, потому что константа - это особый (вырожденный) случай RV?

— полупансион

1

@ Half-Pass: это правильно.

— Сиань

4

Предположим, что - это гауссов центрированный вектор, ковариационная матрица которого является с . Определите и для . Затем и , где и - стандартная нормальная случайная величина. Однако является гауссовским, центрированным, а его дисперсия равна . Поскольку ничего не известно о распределении , мы не можем утверждать, что в распределении. $(X_0,Y_0)$ $\pmatrix{1&\rho\\ \rho&1}$ $|\rho|\leqslant 1$ $X_n:=X_0$ $Y_n:=Y_0$ $n\geqslant 1$ $X_n\to X$ $Y_n\to Y$ $X$ $Y$ $X_n+Y_n$ $2+2\rho$ $X+Y$ $X_n+Y_n\to X+Y$

Эти примеры показывают, что в общем случае мы можем иметь распределение и , но если у нас нет информации о распределении , сходимость может не получиться. $X_n\to X$ $Y_n\to Y$ $X+Y$ $X_n+Y_n\to X+Y$

Конечно, все хорошо, если в распределении (например, если не зависит от и от В общем, мы можем только утверждать, что последовательность туго (то есть для каждого положительного мы можем найти такой, что ). Это подразумевает что мы можем найти возрастающую последовательность целых чисел , такие , что сходится по распределению к некоторой случайной величины . $(X_n,Y_n)\to (X,Y)$ $X_n$ $Y_n$ $X$ $Y$ $(X_n+Y_n)_{n\geqslant 1}$ $\varepsilon$ $R$ $\sup_n\mathbb P\{|X_n+Y_n|\gt R\}\lt \varepsilon$ $(n_k)_{k\geqslant 1}$ $(X_{n_k}+Y_{n_k})_{k\geqslant 1}$ $Z$

Предложение. Существуют последовательности гауссовских случайных величин и , так что для любой мы можем найти возрастающую последовательность целых чисел , что сходится по распределению к . $(X_n)_{n\geqslant 1}$ $(Y_n)_{n\geqslant 1}$ $\sigma\in [0,2]$ $(n_k)_{k\geqslant 1}$ $(X_{n_k}+Y_{n_k})_{k\geqslant 1}$ $N(0,\sigma^2)$

Доказательство. Рассмотрим перечисление рациональных чисел и биекцию . Для определите как гауссов центрированный вектор ковариационной матрицы . При таком выборе можно видеть, что заключение предложения удовлетворяется, когда рациональна. Используйте аргумент аппроксимации для общего случая. $(r_j)$ $[-1,1]$ $\tau\colon \mathbb N\to \mathbb N^2$ $n\in \tau^{-1}(\{j\})\times\mathbb N$ $(X_n,Y_n)$ $\pmatrix{1&r_j\\ r_j&1}$ $\sigma$

— Давиде Жираудо
источник