Сравнение двух гистограмм с использованием расстояния хи-квадрат

Я хочу сравнить два изображения лиц. Я рассчитал их LBP-гистограммы. Итак, теперь мне нужно сравнить эти две гистограммы и получить что-то, что скажет, насколько эти гистограммы равны (0 - 100%).

Существует много способов решения этой задачи, но авторы метода LBP подчеркивают (Face Face with Local Binary Patterns: Application to Face Recognition. 2004), что расстояние хи-квадрат лучше, чем пересечение гистограммы и статистика логарифмического правдоподобия.

Авторы также показывают формулу расстояния хи-квадрат:

$$\sum_{i=1}^{n} \cfrac{(x_i - y_i)^2} {(x_i + y_i)}$$

Где - количество бинов, x_i - значение первого бина, y_i - значение второго бина.x i y $n$$x_i$$y_i$

В некоторых исследованиях (например, семейство расстояний гистограммы квадратичного Ци) я видел, что формула расстояния хи-квадрат:

$$\cfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{n} \cfrac{(x_i - y_i)^2} {(x_i + y_i)}$$

И там http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda35f.htm я вижу, что формула расстояния хи-квадрат:

$$\sum_{i=1}^{n} \cfrac{(x_i - y_i)^2} {y_i}$$

Я застрял с этим. У меня есть несколько вопросов:

1. Какое выражение я должен использовать?
2. Как я должен интерпретировать результат различия? Я знаю, что разность, равная 0, означает, что обе гистограммы равны, но как я могу знать, когда обе гистограммы совершенно разные? Нужно ли использовать для этого стол хи-квадрат? Или мне нужно использовать порог? В основном я хочу отобразить разницу в процентах.
3. Почему эти три выражения разные?

@Silverfish попросил расширить ответ от PolatAlemdar, который не был дан, поэтому я постараюсь раскрыть его здесь.

Почему название числовое расстояние? Числовой тест для таблиц сопряженности основан на поэтому идея состоит в том, чтобы сохранить эту форму и использовать ее как мера расстояния. Это дает третью формулу OP, где интерпретируется как наблюдение, а как ожидание, что объясняет комментарий Полата Алемдара «Он используется в дискретных распределениях вероятностей», как, например, при проверке на соответствие. Эта третья форма не является функцией расстояния, так как она асимметрична по переменным и . Для сравнения гистограммы нам понадобится функция расстояния, которая симметрична по и xiyixyxy

$$\chi^2 = \sum_{\text{cells}} \frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$$ $x_i$$y_i$$x$$y$$x$$y$и две первые формы дают это. Разница между ними заключается только в постоянном множителе , что неважно, если только вы последовательно выбираете одну форму (хотя версия с дополнительным множителем лучше, если вы хотите сравнить с асимметричной формой). Обратите внимание на сходство в этих формулах с евклидовым расстоянием в квадрате, которое не является совпадением, а квадратное расстояние является своего рода взвешенным евклидовым расстоянием. По этой причине формулы в ОП обычно ставятся под корневым знаком для получения расстояний . В следующем мы следуем этому.$\frac12$$\frac12$

Числовое расстояние также используется в анализе соответствия. Чтобы увидеть связь с используемой там формой, пусть будут ячейками таблицы сопряженности с строками и колонками. Обозначим итоговые значения строки а итоговые значения столбца - . Числовое расстояние между строками определяется как Для случая только с двумя строками (две гистограммы) они восстанавливают первую формулу OP (по модулю корневого знака). R C x + j = ∑ i x i j x i + = ∑ j x i j l , k $x_{ij}$$R$$C$$x_{+j}=\sum_i x_{ij}$$x_{i+}=\sum_j x_{ij}$$l,k$

$$\chi^2(l,k) = \sqrt{\sum_j \frac1{x_{+j}}\left(\frac{x_{lj}}{x_{l+}}-\frac{x_{kj}}{x_{k+}} \right)^2 }$$

EDIT

Отвечая на вопрос в комментариях ниже: Книга с длительным обсуждением расстояния в квадрате - «АНАЛИЗ КОРРЕСПОНДЕНЦИИ В ПРАКТИКЕ (Второе издание)» Майкла Гринакра (Chapman & Hall). Это хорошо зарекомендовавшее себя название, исходя из его сходства с числовым значением, которое используется в таблицах сопряженности. Какой дистрибутив у него есть? Я никогда не изучал это, но, вероятно, (при некоторых условиях ...) это будет иметь некоторое распределение по квадратам, примерно. Доказательства должны быть аналогичны тому, что делается с таблицами сопряженности, большинство литературы по анализу соответствия не входит в теорию распределения. Статья, имеющая некоторую, может быть, соответствующую такую ​​теорию, http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0101-74382016000100023 . Также см/stats//search?q=%22chisquare+distance%22 для некоторых других соответствующих сообщений на этом сайте.

Я нашел эту ссылку весьма полезной: http://docs.opencv.org/2.4/doc/tutorials/imgproc/histograms/histogram_comparison/histogram_comparison.html

Я не совсем уверен, почему, но OpenCV использует третью формулу, которую вы перечислили для сравнения гистограммы хи-квадрат.

С точки зрения смысла, я не уверен, что какой-либо алгоритм измерения даст вам ограниченный диапазон, например, от 0% до 100%. Другими словами, вы можете точно сказать, что два изображения одинаковы: значение корреляции 1,0 или значение хи-квадрат 0,0; но трудно установить ограничение на разницу между двумя изображениями: представьте, что вы сравниваете полностью белое изображение с полностью черным, числовое значение будет либо бесконечностью, либо, может быть, не числом.

На самом деле вы можете использовать все, что вы считаете правильным для вашего случая. Последний отличается. Он используется в дискретных распределениях вероятностей, так как последнее будет симметричным, если вы поменяете местами и .$x$$y$

Два других используются при расчете сходства гистограмм.

По требованию OP значение в процентах (для уравнения 1):

$p = \frac{\chi * S * 100}{N}$

Где: - это процент разницы (0..100). - результат уравнения 1. - количество бинов в гистограмме. - максимально возможное значение в корзине.$p$$\chi$$N$$S$

Дополнено в соответствии с просьбой:

Вычисляя это уравнение, можно получить процентное отличие от полной гистограммы. Вычисляя это для обеих гистограмм и затем вычитая одну из другой, можно получить разницу в процентах.