Я хотел бы предложить этот способ, чтобы получить pdf для Z, непосредственно вычисляя MVUE для используя теорему Байеса, хотя это немного и сложно.P(X≤c)
Так как и , являются совместной полной статистикой, MVUE для было бы так:E[I(−∞,c)(X1)]=P(X1≤c)Z1=X¯Z2=S2P(X≤c)
ψ(z1,z2)=E[I(−∞,c)(X1)|z1,z2]=∫∞−∞I(−∞,c)fX|Z1,Z2(x1|z1,z2)dx1
Теперь, используя теорему Байеса, мы получаем
fX|Z1,Z2(x1|z1,z2)=fZ1,Z2|X1(z1,z2|x1)fX1(x1)fZ1,Z2(z1,z2)
Знаменатель можно записать в закрытом виде, поскольку , не зависят друг от друга.fZ1,Z2(z1,z2)=fZ1(z1)fZ2(z2)Z1∼N(μ,σ2n)Z2∼Γ(n−12,2σ2n−1)
Чтобы получить закрытую форму числителя, мы можем принять статистику:
W1=∑ni=2Xin−1
W2=∑ni=2X2i−(n−1)W21(n−1)−1
которое представляет собой среднее значение и выборочную дисперсию и они не зависят друг от друга, а также не зависят от . Мы можем выразить это через .X2,X3,...,XnX1Z1,Z2
W1=nZ1−X1n−1 ,W2=(n−1)Z2+nZ21−X21−(n−1)W21n−2
Мы можем использовать преобразование, когда ,
X1=x1
fZ1,Z2|X1(z1,z2|x1)=nn−2fW1,W2(w1,w2)=nn−2fW1(w1)fW2(w2)
Поскольку , мы можем получить закрытую форму этого. Обратите внимание, что это верно только для который ограничивает до .W1∼N(μ,σ2n−1)W2∼Γ(n−22,2σ2n−2)w2≥0x1z1−n−1n√z2−−√≤x1≤z1+n−1n√z2−−√
Так что сложите их вместе, экспоненциальные условия исчезнут, и вы получите,
fX|Z1,Z2(x1|z1,z2)=Γ(n−12)π−−√Γ(n−22)n−−√z2−−√(n−1)(1−(n−−√(x1−z1)z2−−√(n−1))2)
где и ноль в другом месте.
z1−n−1n√z2−−√≤x1≤z1+n−1n√z2−−√
Исходя из этого, на данный момент мы можем получить PDF из используя преобразование.Z=X1−z1z2√
Кстати, MVUE будет выглядеть следующим образом:
а и будет 1, если
ψ(z1,z2)=Γ(n−12)π−−√Γ(n−22)∫θc−π2cosn−3θdθ
θc=sin−1(n√(c−z1)(n−1)z1√)c≥z1+n−1n√z2√
Я не являюсь носителем английского языка, и могут быть некоторые неловкие предложения. Я изучаю статистику самостоятельно с введением учебника в математическую статистику Хогга. Таким образом, могут быть некоторые грамматические или математические концептуальные ошибки. Было бы полезно, если бы кто-то исправил их.
Спасибо за чтение.