Что означает суперскрипт 2, индекс 2 в контексте норм?

Я новичок в оптимизации. Я продолжаю видеть уравнения, которые имеют верхний индекс 2 и нижний индекс 2 в правой части нормы. Например, вот уравнение наименьших квадратов

мин $||Ax-b||^2_2$

Я думаю, что понимаю верхний индекс 2: это означает возвести в квадрат значение нормы. Но что такое индекс 2? Как я должен читать эти уравнения?

regression optimization notation

— bernie2436
источник

| | θ | |_{p}

$||\theta||_p$ есть

ℓ_{p}

$\ell_p$ -норма

θ

$\theta$ . Скажем,

θ

$\theta$ является

d

$d$ мерным, тогда

| | θ | |_{p} = {(\sum_{i = 1}^{d} | θ_{i} |^{p})}^{\frac{1}{p}}

$||\theta||_p = \left(\sum_{i=1}^d |\theta_i|^p\right)^\frac{1}{p}$ .

— Соби

Одиночные вертикальные полосы используются для абсолютного значения (величины):

| θ |

$|\theta|$

— Scortchi - Восстановить Монику

Спасибо! ... но для чего нужен верхний индекс 2? ... нижний индекс для p-й нормы .... верхний индекс для?

— mathopt

@ user1467929: Квадрат - если бы это было что-то еще, что они наверняка сказали бы.

— Scortchi - Восстановить Монику

Ответы:

Вы правы насчет верхнего индекса. Индекс $||.||_p$ определяет $p$ норму.

Следовательно:

| | x_{i} | |_{p} = (\sum_{i} | x_{i} |^{p})^{1 / p}

$||x_i||_p=(\sum_i|x_i|^p)^{1/p}$

И:

| | x_{i} | |_{p}^{p} = \sum_{i} | x_{i} |^{p}

$||x_i||_p^p=\sum_i|x_i|^p$

— RUser4512
источник

ах. И есть соглашения для значений подписчиков, которые я вижу. en.wikipedia.org/wiki/Norm_(matmatics)#p-norm . Так как 1 = норма такси, 2 = норма Евклида и т. Д.

— bernie2436

@ bernie2436: Это особые случаи общего определения, данного в ответе выше (за исключением, может быть, sup-norm с )

p = \infty

$p = \infty$

— Майкл М

$\|x\|_2$ - евклидова норма вектора ; - квадрат евклидовой нормы . Обратите внимание, что, поскольку евклидова норма, вероятно, является наиболее часто используемой нормой, люди обычно сокращаются до, По определению при допущении евклидова векторного пространства: . $x$ $\|x\|_2^2$ $x$ $\|x\|$ $\|x\|_2 := \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}$

Как уже упоминалось в комментариях, индекс относится к степени нормы. Другие обычно используемые нормы для , и . При получается число ненулевых элементов в , при (т. ) - норма Манхэттена, а при - максимальное абсолютное значение из элементов. в . И и популярны в разреженных / сжатых настройках приложения, где нужно «призвать» некоторые коэффициенты к нулю. $p$ $p = 0$ $p = 1$ $p = \infty$ $p=0$ $x$ $p=1$ $\|x\|_1$ $p = \infty$ $x$ $p = 0$ $p = 1$

— usεr11852 говорит восстановить Monic
источник