Что такое автокорреляция для случайной прогулки?


11

Кажется, это действительно высоко, но это противоречит мне. Может кто-нибудь объяснить, пожалуйста? Я очень смущен этим вопросом и был бы признателен за подробное, проницательное объяснение. Заранее большое спасибо!

Ответы:


11

(Я написал это как ответ на другой пост, который был помечен как дубликат этого, пока я составлял его; я решил, что я опубликую его здесь, а не выбрасываю. Похоже, что он говорит совершенно аналогично тому, что ответ, но это достаточно отличается, чтобы кто-то мог получить что-то из этого.)

Случайное блуждание имеет видyt=i=1tϵi

Обратите внимание, чтоyt=yt1+ϵt

Следовательно, .Cov(yt,yt1)=Cov(yt1+ϵt,yt1)=Var(yt1)

Также обратите внимание, чтоσt2=Var(yt)=tσϵ2

Следовательно, .corr(yt,yt1)=σt12σt1σt=σt1σt=t1t=11t112t

То есть, вы должны увидеть корреляцию почти 1, потому что как только начинает становиться большим, и - это почти одно и то же - относительная разница между ними, как правило, довольно мала.tytyt1

Вы можете легко увидеть это, построив график vs .ytyt1

введите описание изображения здесь

Теперь мы можем видеть это несколько интуитивно - представьте, что опустился до (как мы видим в моей имитации случайного блуждания со стандартным условием нормального шума). Тогда будет довольно близко к ; это может быть или но почти наверняка это будет в пределах нескольких единиц . Так как ряды перемещаются вверх и вниз, график против почти всегда будет оставаться в довольно узком диапазоне линии ... но с ростом точки будут охватывать больше и больше тянется вдоль этого - 20 y t - 20 - 22 - 18,5 - 20yt120yt202218.520ytyt1y=xty=xлиния (разброс вдоль линии увеличивается с , но вертикальный разброс остается примерно постоянным); корреляция должна приближаться к 1.t


9

В контексте вашего предыдущего вопроса «случайное блуждание» - это одна реализация биномиального случайного блуждания. Автокорреляция - это корреляция между вектором и вектором следующих элементов .( х 0 , х 1(x0,x1,x2,,xn)(x0,x1,,xn1)(x1,x2,,xn)

Сама конструкция биномиального случайного блуждания приводит к тому, что каждый отличается от каждого константой. xi+1xi После некоторого запуска значения будут отклоняться от начального значения и, таким образом, обычно будут охватывать хороший диапазон, обычно пропорциональный длине . Таким образом, диаграмма рассеяния lag-1 пар будет состоять из точек, лежащих только на линиях , в среднем близких к линии . Остатки будут близки кxix0 (xi,x i + 1ny = x ± 1 y = x ± 1 1 ( (xi,xi+1)y=x±1y=x±1, Следовательно, в подавляющем большинстве реализаций дисперсия остатков (около ) по сравнению с дисперсией значений (примерно порядка ) будет небольшой , Мы ожидаем, что будет примерно1R2(n/2)2=n/4R2

R211n/4=14n.

Вот изображение шагов в случайном блуждании (слева) и его диаграммы рассеяния lag-1 (справа). Цветовое кодирование используется, чтобы помочь вам найти соответствующие точки на двух графиках. Обратите внимание, что в этом случае очень близок к .R 2 1 - 4 / nn=1000R214/n

фигура


Вот Rкод, который произвел изображения.

set.seed(17)
n <- 1e3
x <- cumsum((runif(n) <= 1/2)*2-1)          # Binomial random walk at x_0=0
rho <- format(cor(x[-1], x[-n]), digits=3)  # Lag-1 correlation

par(mfrow=c(1,2))
plot(x, type="l", col="#e0e0e0", main="Sample Path")
points(x, pch=16, cex=0.75,  col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2))
plot(x[-n], x[-1], asp=1, pch=16, col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2),
     main="Lag-1 Scatterplot",
     xlab="Current value", ylab="Next value")
mtext(bquote(rho == .(rho)))
Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.