Производная гауссовского процесса


12

Я считаю, что производная гауссовского процесса (ГП) - это другая ГП, и поэтому я хотел бы знать, существуют ли уравнения замкнутой формы для уравнений предсказания производной от ГП? В частности, я использую квадратичное экспоненциальное (также называемое гауссовским) ковариационное ядро ​​и хочу знать, как делать предсказания о производной гауссовского процесса.


Что вы имеете в виду под производной от GP? Вы случайно генерируете кривую из BP, , а затем берете производную? x(t)
Плацидия

@Placidia, нет, я имею в виду вычисление , которое, как я считаю, должно быть еще одним гауссовским процессомx(t)t

Хороший вопрос. Однако я, кажется, вспоминаю, что броуновское движение является как GP, так и нигде не дифференцируемым. Поэтому я не уверен, что может быть общее выражение. Конечно, x (t) -x (th) должен быть гауссовским, поэтому при наличии ковариационной функции должно быть возможно думать о вероятностях этого для данного h.
предположения

@conjectures, именно поэтому я специально сказал, что у меня есть GP, где функция ядра является квадратом экспоненциальной (так как я знаю, что эта функция бесконечно дифференцируема), и на самом деле искал только производный случай в моем примере. Но хороший момент, тем не менее!

Ответы:


13

Краткий ответ: Да, если ваш Гауссовский процесс (GP) дифференцируем, его производная снова является GP. С ним можно обращаться, как с любым другим GP, и вы можете рассчитывать прогнозные распределения.

Но поскольку GP и его производные тесно связаны, вы можете вывести свойства одного из другого.G GG

  1. СуществованиеG

GP с нулевым средним и ковариационной функцией дифференцируемы (в среднем квадрате), если существует . В этом случае ковариационная функция равна . Если процесс не является нулевым средним, то функция среднего значения также должна быть дифференцируемой. В этом случае средняя функция является производной от средней функции .K ( x 1 , x 2 ) = 2 KKGKGGK(x1,x2)=2Kx1x2(x1,x2)GKGG

(Более подробно см., Например, Приложение 10А А. Папулиса «Вероятность, случайные величины и случайные процессы»).

Поскольку гауссово экспоненциальное ядро ​​дифференцируемо от любого порядка, это не проблема для вас.

  1. Прогнозирующее распределение для G

G

GGG

GGGK


Я не понимаю ваш вопрос. Существует явная формула для ковариационной функции и функции среднего значения, приведенная выше (и в 9.4 Расмуссена / Уильямса). Так как это все, что нужно знать и использовать терапевта, что еще можно попросить?
гг

G

Возможно ли, что вы путаете среднюю функцию и пути процесса? Обратите внимание, что средняя функция является более гладкой, чем пути и может быть дифференцируемой, даже если процесс не является. Но функция среднего значения является детерминированной функцией, а не процессом, поэтому нет никакой дисперсии, которую можно вычислить.
гг

Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.