Объясните, как `eigen` помогает инвертировать матрицу

Мой вопрос относится к вычислительной технике, используемой в geoR:::.negloglik.GRFили geoR:::solve.geoR.

В линейной смешанной модели:

$$Y=X\beta+Zb+e$$ где $\beta$ и $b$ - фиксированные и случайные эффекты соответственно. Также $\Sigma=\text{cov}(Y)$

При оценке последствий, необходимо , чтобы вычислить , которые обычно можно сделать , используя что - то вроде , но иногда ( X ' Σ - 1 X ) почти не- обратимый, так что используй трюк

$$(X'\Sigma^{-1}X)^{-1}X'\Sigma^{-1} Y$$ solve(XtS_invX,XtS_invY)$(X'\Sigma^{-1}X)$geoR

t.ei=eigen(XtS_invX)
crossprod(t(t.ei$vec)/sqrt(t.ei$val))%*%XtS_invY

(можно увидеть в geoR:::.negloglik.GRFи geoR:::.solve.geoR) , которая составляет разлагая

$$(X'\Sigma^{-1}X)=\Lambda D \Lambda^{-1}\\ $$ где и , следовательно , ( Х ' Σ - 1 X ) - 1 = ( Д - 1 / 2 Λ - 1 ) ' ( Д - 1 / 2 Λ - 1$\Lambda'=\Lambda^{-1}$ $$(X'\Sigma^{-1}X)^{-1}=(D^{-1/2}\Lambda^{-1})'(D^{-1/2}\Lambda^{-1})$$

Два вопроса:

1. Как это собственное разложение помогает переворачивания ?$(X'\Sigma^{-1}X)$
2. Есть ли другие жизнеспособные альтернативы (надежные и стабильные)? (например qr.solveили chol2inv?)

$\Sigma$$X^T \Sigma^{-1} X$

$\Sigma$$\Sigma = L L^T$$L^{-1} X$$L^{-1} X = QR$$L^{-1} X$$L$

$$\begin{array}{} X^T \Sigma^{-1} X & = & X^T (L L^T)^{-1} X \\ & = & X^T L^{-T} L^{-1} X \\ & = & (L^{-1} X)^T (L^{-1} X) \\ & = & (Q R)^T Q R \\ & = & R^T Q^T Q T \\ & = & R^T R \end{array}$$ $R$$R^T R$

$X^T \Sigma Y$$X^T \Sigma^{-1} Y$

$$\begin{array}{} X^T \Sigma^{-1} Y & = & X^T (L L^T)^{-1} Y \\ & = & X^T L^{-T} L^{-1} Y \\ & = & (L^{-1} X)^T L^{-1} Y \\ & = & (Q R)^T L^{-1} Y \\ & = & R^T Q^T L^{-1} Y \end{array}$$ $\beta$ $$\begin{array}{} X^T \Sigma^{-1} X \beta & = & X^T \Sigma^{-1} Y \\ R^T R \beta & = & R^T Q^T L^{-1} Y \\ R \beta & = & Q^T L^{-1} Y \\ \beta & = & R^{-1} Q^T L^{-1} Y \end{array}$$ $R$