Как создать простой персептрон?

Задачи классификации с нелинейными границами не могут быть решены простым персептроном . Следующий код R предназначен для иллюстративных целей и основан на этом примере в Python):

nonlin <- function(x, deriv = F) {
  if (deriv) x*(1-x)
  else 1/(1+exp(-x))
}

X <- matrix(c(-3,1,
              -2,1,
              -1,1,
               0,1,
               1,1,
               2,1,
               3,1), ncol=2, byrow=T)

y <- c(0,0,1,1,1,0,0)

syn0 <- runif(2,-1,1)

for (iter in 1:100000) {
  l1 <- nonlin(X %*% syn0)
  l1_error <- y - l1
  l1_delta <- l1_error * nonlin(l1,T)
  syn0 <- syn0 + t(X) %*% l1_delta
}

print("Output After Training:")
## [1] "Output After Training:"
round(l1,3)
##       [,1]
## [1,] 0.488
## [2,] 0.468
## [3,] 0.449
## [4,] 0.429
## [5,] 0.410
## [6,] 0.391
## [7,] 0.373

Теперь идея ядра и так называемого трюка с ядром состоит в том, чтобы спроецировать входное пространство в пространство более высокого измерения, вот так ( источники рисунков ):

Мой вопрос
Как мне использовать трюк с ядром (например, с простым квадратичным ядром), чтобы я получил персептрон ядра , который способен решить данную проблему классификации? Обратите внимание: это в основном концептуальный вопрос, но если бы вы могли также внести необходимые изменения в код, это было бы здорово

То, что я пробовал до сих пор,
я попробовал следующее, которое работает хорошо, но я думаю, что это не реальная сделка, потому что она становится слишком сложной в вычислительном отношении для более сложных задач («хитрость» за «хитростью ядра» - это не просто идея само ядро, но вам не нужно вычислять проекцию для всех случаев):

X <- matrix(c(-3,9,1,
              -2,4,1,
              -1,1,1,
               0,0,1,
               1,1,1,
               2,4,1,
               3,9,1), ncol=3, byrow=T)

y <- c(0,0,1,1,1,0,0)

syn0 <- runif(3,-1,1)

Полное раскрытие
Я разместил этот вопрос неделю назад на SO, но он не привлек большого внимания. Я подозреваю, что здесь лучше, потому что это скорее концептуальный вопрос, чем вопрос программирования.

$X^\intercal X=\left<X,X\right>$$<\cdot,\cdot>:\mathbb{R}^p\times\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}$$k:\mathbb{R}^p\times\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}$

Как упоминалось на странице Википедии о персептроне ядра , мы выбираем подмножество входных данных размера и используем их линейную комбинацию для получения нашего вывода, $M$

Если вы видели машину опорных векторов ( SVM ), вы заметите идентичный двойной. Чтобы выбрать подмножество размера для использования, мы оптимизируем over , который представляет, является ли sample опорным / базисным вектором нашего решения. В оптимизации мы включаем веса исходной оптимизации персептрона.$M$$\alpha_i$$i$$\alpha_i$$\omega_i$

Что касается вашего вопроса о том, что нет необходимости вычислять проекцию, вы правы, матрица входных данных по-прежнему двумерна. При вычислении выходных данных мы заменили скалярное произведение функцией ядра, и именно здесь происходит «неявное» вычисление в пространстве признаков.$X$