Отрицательное биномиальное распределение против биномиального распределения

22

В чем разница между отрицательным биномиальным распределением и биномиальным распределением?

Я попытался читать онлайн, и обнаружил, что отрицательное биномиальное распределение используется, когда точки данных дискретны, но я думаю, что даже биномиальное распределение можно использовать для дискретных точек данных.

— alily
источник

5

Они оба дискретны.

— Glen_b

5

Простая иллюстрация: вы продаете конфеты от двери до двери. В каждой двери, в которую вы стучите, у вас есть вероятность 1/4 продажи 1 моноблока и вероятность 3/4 или продажи 0 конфет. Ваша вероятность продажи n баров, если вы постучите в 50 дверей, является биномиальным распределением по n. Ваша вероятность того, что вы постучите в дверь m, чтобы продать 30 баров, является отрицательным биномиальным распределением в m. Обратите внимание, что первый отсекается на 50, потому что вы не можете продать больше 50 баров, в то время как у второго хвост бесконечен, потому что в тот день вы могли просто иметь ужасную удачу и никогда не продавать 30-й бар.

— Джерри Герн

30

Разница в том, что нас интересует. Оба распределения построены из независимых испытаний Бернулли с фиксированной вероятностью успеха, с .

При биномиальном распределении случайная величина X - это число успехов, наблюдаемых в n испытаниях. Поскольку существует фиксированное количество испытаний, возможные значения X равны 0, 1, ..., n .

При отрицательном биномиальном распределении случайная переменная Y - это число испытаний до тех пор, пока не будет наблюдаться r- й успех. В этом случае, мы постоянно увеличивая число испытаний до тех пор , пока не достигнут ¨R успехов. Возможные значения Y: r , r + 1 , r + 2 , ... без верхней границы. Отрицательное биномиальное также может быть определена в терминах числа неудач , пока г - го успеха, вместо числа испытаний , пока г - го успеха. Википедия определяет отрицательное биномиальное распределение таким образом.

Итак, подведем итог:

Бином :

Фиксированное количество испытаний ( n )
Фиксированная вероятность успеха ( p )
Случайной величиной является X = Количество успехов.
Возможные значения: 0 ≤ X ≤ n.

Отрицательное биномиальное :

Фиксированное количество успехов ( r )
Фиксированная вероятность успеха ( p )
Случайной величиной является Y = Количество испытаний до r- го успеха.
Возможные значения: r ≤ Y

Спасибо Бену Болкеру за напоминание о поддержке двух дистрибутивов. Он ответил на связанный вопрос здесь .

— Jelsema
источник

4

дальнейшее обсуждение NB здесь: stats.stackexchange.com/questions/6728/… . Возможно, стоит отметить, что биномиальные ответы ограничены [0, N], NB-ответы неограничены [0, ...]

— Бен Болкер

Хороший вопрос, я обновил свой ответ, чтобы включить это.

— Jelsema

спасибо jelsema за подробный ответ, теперь я

— могу

19

Отрицательное биномиальное распределение, несмотря на кажущуюся очевидную связь с биномиальным, на самом деле лучше по сравнению с пуассоновским распределением. Все три дискретны, кстати.

$\lambda$ $\lambda$

Если ваши данные свидетельствуют о том, что дисперсия больше среднего (избыточная дисперсия), это исключает Пуассона, то следующим будет рассмотрение отрицательного бинома. Он имеет более одного параметра, поэтому его дисперсия может быть больше среднего.

Отношение NB к биномиальному происхождению происходит из основного процесса, как это было описано в ответе @ Jelsema. Процесс связан, так что распределения тоже, но, как я объяснил здесь, связь с распределением Пуассона ближе в практических приложениях.

ОБНОВЛЕНИЕ: Другой аспект - параметризация. Биномиальное распределение имеет два параметра: p и n. Его истинный домен от 0 до n. В этом он не только дискретен, но и определен на конечном наборе чисел.

$\lambda$ $n$

— Аксакал
источник

3

Я не понимаю, что вы подразумеваете под «лучше по сравнению с распределением Пуассона». Оригинальный вопрос не говорит, какое моделирование желательно. Это даже не означает, что человек вообще интересуется моделированием.

— heropup

@heropup, OP явно заинтересован в приложениях и напрямую сравнивает NB с Binomial. Следовательно, мой ответ о таком сравнении, и это сравнение с Пуассоном более актуально в типичных приложениях.

— Аксакал

7

Они оба дискретны и представляют собой подсчеты при отборе проб.

$D$ $N$ $S = ( DDD, DDN, DND, DNN, NDD, NDN, NND, NNN)$

$S = ( D,ND,NND,NNND,... )$

$p$

— Бахгат Нассур
источник