Как подобрать приблизительный PDF (т.е. оценку плотности), используя первые k (эмпирических) моментов?

У меня есть ситуация, когда я могу оценить (первые) моментов набора данных и хотел бы использовать его для оценки функции плотности.$k$

Я уже сталкивался с распределением Пирсона , но понял, что он опирается только на первые 4 момента (с некоторыми ограничениями на возможные комбинации моментов).

Я также понимаю, что любого конечного набора моментов недостаточно, чтобы «закрепить» конкретное распределение, когда не используются дополнительные предположения. Тем не менее, я все еще хотел бы для более общего класса распределений (кроме семейства распределений Пирсона). Глядя на другие вопросы, я не смог найти такой рассылки (см .: здесь , здесь , здесь , здесь , здесь и здесь ).

Существует ли некоторое («простое») обобщенное семейство распределений, которое можно определить для любого набора из моментов? (может быть набор преобразований, которые могут принимать стандартное нормальное распределение и преобразовывать его, пока он не будет подтвержден всем набором моментов)$k$$k$

(Мне все равно, если предположить, что другие моменты равны 0 или нет)$k+1\ldots\infty$

Спасибо.

PS: Я был бы рад за расширенный пример. Предпочтительно с примером кода R.

Метод 1: системы Пирсона высшего порядка

$p(x)$

$(a, c_0, c_1, c_2)$

$c_0 + c_1 x + c_2 x^2$$p(x)$

что дает решение:

Некоторое время назад я решил это ради забавы (имея ту же последовательность мыслей, что и ОП): вывод и решение даны в главе 5 нашей книги; если интересно, бесплатная загрузка доступна здесь:

http://www.mathstatica.com/book/bookcontents.html

Заметим, что, хотя семейство Пирсона второго порядка (квадратичное) можно выразить через первые 4 момента, семейство Пирсона в третьем порядке (кубическое) требует первых 6 моментов.

Метод 2: Расширения Грамм-Шарлье

$k^{th}$

Моменты населения или примеры моментов ??

Для системы в стиле Пирсона: если моменты населения известны, то использование более высоких моментов должно однозначно привести к лучшей подгонке. Однако, если наблюдаемые данные представляют собой случайную выборку, взятую из совокупности, существует компромисс: полином более высокого порядка подразумевает, что требуются моменты более высокого порядка, и оценки последних могут быть ненадежными (иметь высокую дисперсию), если размер выборки не является «большим». Другими словами, учитывая данные выборки, подгонка с использованием более высоких моментов может стать «нестабильной» и привести к худшим результатам. То же самое верно для расширений Грамм-Шарлье: добавление дополнительного термина может фактически привести к худшему соответствию, поэтому требуется некоторая осторожность.