При повторной параметризации функции правдоподобия, достаточно ли просто вставить преобразованную переменную вместо формулы изменения переменных?

Предположим, что я пытаюсь повторно параметризовать функцию правдоподобия, которая экспоненциально распределена. Если моя первоначальная функция правдоподобия:

$$p(y \mid \theta) = \theta e^{-\theta y}$$

и я хотел бы повторно параметризовать его, используя , поскольку - это не случайная величина, а параметр, достаточно просто подключить плагин?$\phi = \frac{1}{\theta}$$\theta$

Я имею в виду, что

$$p\left(y \mid \phi = \frac{1}{\theta}\right) = \frac{1}{\phi} e^{-\frac{1}{\phi} y}$$

Если так, я не уверен, какова теория позади этого. Насколько я понимаю, функция правдоподобия является функцией параметра, поэтому мне не нужно использовать формулу для изменения переменных. Любая помощь будет очень признательна, спасибо!

Вам не нужен якобиан в вашем преобразовании, потому что это распределение вероятностей по , а не по . Он должен интегрироваться в единицу в , используете ли вы или : Якобиан появляется только тогда, когда вы включаете (байесовскую) меру в . То есть, если является предшествующим для , то задняя плотность равна а задняя плотность является $y$$\theta$$y$$\theta$$\phi$

$$\int p(y|\theta)\text{d}y = \int p(y|\phi)\text{d}y = 1$$ $\theta$$p(\theta)$$\theta$$\theta$ $$p(\theta|y)\propto p(\theta) p(y|\theta)$$ $\phi$ $$p(\phi|y)\propto p(y|\phi)p(\phi)=p(y|\theta(\phi))p(\theta(\phi))\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right|\propto p(\theta(\phi)|y)\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right|$$ который включает в себя якобиан,$\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right|$