Заключенный парадокс

11

Мне дают упражнение, и я не могу понять это.

Парадокс узников
Трое заключенных в одиночном заключении, A, B и C, были приговорены к смертной казни в тот же день, но, поскольку существует национальный праздник, губернатор решает, что одному из них будет помилован. Заключенные проинформированы об этом, но им сообщили, что они не будут знать, кого из них следует пощадить, до дня, назначенного для казней.

Заключенный А говорит тюремщику: «Я уже знаю, что по крайней мере один из двух других заключенных будет казнен, поэтому, если вы скажете мне имя того, кто будет казнен, вы не дадите мне никакой информации о моей собственной казни». ,

Тюремщик принимает это и говорит ему, что С точно умрет.

Несколько причин «Прежде чем я знал, что С должен был быть казнен, у меня был шанс 1 на 3 получить помилование. Теперь я знаю, что либо Б, либо я буду помилован, шансы улучшились до 1 в 2 ».

Но тюремщик указывает: «Вы могли бы прийти к аналогичному выводу, если бы я сказал, что B умрет, и я должен был ответить либо B, либо C, так почему вы должны были спросить?».

Каковы шансы А на получение помилования и почему? Придумайте объяснение, которое убедит других, что вы правы.

Вы можете решить эту проблему с помощью теоремы Байеса, путем построения сети убеждений или здравого смысла. Какой бы подход вы ни выбрали, это должно углубить ваше понимание обманчиво простой концепции условной вероятности.

Вот мой анализ:

Это похоже на проблему Монти Холла , но не совсем. Если А скажет I change my place with Bпосле того, как ему скажут, что С умрет, у него есть 2/3 шансов на спасение. Если он этого не сделает, то я бы сказал, что его шансы на выживание равны 1/3, например, если вы не измените свой выбор в задаче Монти Холла. Но в то же время он в группе из двух парней, и один должен умереть, поэтому хочется сказать, что его шансы равны 1/2.

Так что парадокс все еще здесь, как бы вы подошли к этому. Кроме того, я понятия не имею, как я могу создать сеть убеждений по этому поводу, поэтому мне интересно это увидеть.

probability self-study

— Бенджамин Крузье
источник

2

«Он в группе из 2 парней» не подразумевает «его шансы 1/2»

— Генри

8

Изначально существует три варианта с равными вероятностями:

А будет освобожден (проб ) $1/3$
B будет освобожден (проб ) $1/3$
С будет освобожден (проб ) $1/3$

С обещанием сообщения, есть четыре варианта с различными вероятностями:

A будет освобожден, и A будет сказано, что B будет казнен (проб ) $1/6$
A будет освобожден, и A будет сказано, что C будет казнен (проб ) $1/6$
B будет освобожден, а A сказано, что C будет выполнен (проб ) $1/3$
C будет освобожден, и A будет сказано, что B будет выполнен (проб ) $1/3$

При условии, что «А сказано, что С будет исполнен», это становится

A будет освобожден, и A будет сказано, что C будет выполнен (проб ) $1/3$
B будет освобожден, и A будет сказано, что C будет выполнен (задача ) $2/3$

Таким образом, после сообщения A хотел бы поменяться с B (проблема Монти Холла), но не может и поэтому сохраняет первоначальную вероятность выполнения. $2/3$

— Генри
источник

1

A хотел бы поменяться с B это ключ. Возьмем одно из распространенных объяснений Монти Холла: представьте, что есть 1000 заключенных: А спрашивает тюремщика, который дает ему 998 имен. Ясно, что мы только что узнали много об одном парне, который не А и которого не назвали . Но мы ничего о не узнать А .

— Бен Джексон

Я думаю, что в позиции А это очень хорошая стратегия, чтобы он попросил охранника об этом. Потом поговорите с Б и спросите, хочет ли он переключиться. Если он согласится, вы, ребята, можете спросить палачей, если, если один из них должен быть освобожден, освободите другого. С точки зрения Б, его шансы не меняются, поэтому у него нет оснований говорить «нет» (или говорить «да», так что это вопрос давления в этот момент)

— Cruncher

8

Я думаю, что вы переосмысливаете проблему - это проблема Монти Холла, и применяется та же логика.

— babelproofreader
источник

Вы можете развиваться? Меня интересует рассуждение, а не ответ

— Бенджамин Крузье

1

@pinouchon: Тюремщик - Монти Холл, и Заключенный А - игрок. Умереть аналогично козе; помилование аналогично получению приза. Теперь вы можете напрямую перевести любое объяснение проблемы Монти Холла, которое вам нравится: оно охватывает множество рассуждений. +1 к babelproofreader за указание на это.

— whuber

Как бы вы поспорили против этого утверждения But at the same time, he is in a group of 2 guys, and one should die, so it is tempting to say that his chances are 1/2.. А как насчет сети убеждений?

— Бенджамин Крузье

1

@Pinouchon Было бы конструктивно отредактировать ваш вопрос, чтобы сосредоточиться на аспекте сети убеждений. Сама проблема Монти Холла обсуждалась до смерти во многих, многих местах, поэтому я не вижу смысла перефразировать этот материал здесь.

— whuber

Я согласен, что проблема Монти Холла обсуждалась до смерти, но, несмотря на утверждения Вавилона и Вабера, я не вижу, куда Заключенный А может поменяться местами. Если у тюремщика было три запечатанных конверта, один с помилованием и два с смертными приговорами, А выбрал один конверт, а тюремщик открыл другой (точно такие же правила, как я дал в отдельном ответе) и показал, что в нем содержится смертный приговор, и затем спросил А "Хотите ли вы сохранить выбранный вами конверт или предпочитаете переключаться?" Я могу видеть аналогию

— Дилип Сарвейт

3

$A$ $P(A) = \frac{1}{3}$ $B$

$P(B \mid A) = 1$ $P(B \mid A^c) = 0$ $P (B) = P (B ∣ A) P (A) + P (B ∣ A^{c}) P (A^{c}) = 1 \times \frac{1}{3} + 0 \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ $P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid A^c)P(A^c) = 1 \times \frac{1}{3} + 0\times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
$P(B \mid A) = 0$ $P(B \mid A^c) = 1$ $P (B) = P (B ∣ A) P (A) + P (B ∣ A^{c}) P (A^{c}) = 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$ $P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid A^c)P(A^c) = 0 \times \frac{1}{3} + 1\times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

$B$

$1$ $3$ независимо от того, открывает ли Монти незакрытую дверь, чтобы показать козла или нет, или тюремщик говорит А, что С будет казнен, или нет, именно так, как Генри вычислял в деталях.

— Дилип Сарватэ
источник

Я думаю, мы можем предположить, что у тюремщика есть эта информация, иначе проблема не стоит того, чтобы о ней рассуждать (если у тюремщика есть неизвестная вероятность лжи, тогда они могли бы также ничего не сказать). Что касается вашего первого замечания: конечно, результат отличается от решения проблемы Монти Холла, потому что нет возможности переключиться. Но логика та же: раскрывая один вариант, который не является победителем, предоставляется информация о другом варианте, который мог выбрать тюремщик / Монти.

— Рубен ван Берген

2

Ответ зависит от того, как тюремщик выбирает, какого заключенного назвать, когда он знает, что А должен быть помилован. Рассмотрим два правила:

1) Тюремщик выбирает из числа B и C случайным образом, и в данном случае просто сказал «C». Тогда шанс А на прощение составляет 1/3.

2) Тюремщик всегда говорит C. Тогда вероятность того, что А будет помилован, равна 1/2.

Нам сказали, что тюремщик сказал «С», поэтому мы не знаем, каким из этих правил он следовал. На самом деле, могут быть и другие правила - возможно, тюремщик бросает кубик и говорит только C, если он бросает 6.

— Ringold
источник

1

Как указывали другие, проблема трех заключенных - это перефразирование Монти Холла. Для получения дополнительной информации ознакомьтесь с разделом 1.7 этого документа http://faculty.winthrop.edu/abernathyk/Monty%20Hall%20Problem.pdf.

— Zen
источник

0

Представьте, что тюремщик говорит А, что С точно умрет. И тогда он говорит B, что C обязательно умрет. В этом случае ясно, что А и В имеют 50%, каждый из которых должен быть помилован. Но в чем разница между двумя версиями?

— Г
источник

0

$1/2$ $2/3$

$A$ $B$ $C$ $J$ $J^c$

$P(A|J) = P(J|A)P(A)/P(J)$

$P(J|A) = \frac{1}{2}$

P (A | J) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} / \frac{1}{2} = \frac{1}{3}

$P(A|J) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} / \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$

$P(J|A) = 1$ $P(J|C) = 1$ $P(J|B) = 0$

P (J) = P (J | B) P (B) + P (J | B^{c}) P (B^{c}) = 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}

$P(J) = P(J|B)P(B) + P(J|B^c)P(B^c) = 0\times\frac{1}{3} + 1\times\frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

P (A | J) = 1 \times \frac{1}{3} / \frac{2}{3} = \frac{1}{2}

$P(A|J) = 1 \times \frac{1}{3} / \frac{2}{3} = \frac{1}{2}$

— Михаил Волхов
источник

1

Разве «всегда назовите Карла, когда это возможно», будет так же правдоподобно, как «всегда назовите Боба, когда это возможно»?

— Юхо Коккала

Да, стратегия S '= "всегда назови Карла, если это возможно" должна быть полностью эквивалентной, если мы переопределим J соответственно. Если мы оставим J как есть и заставим тюремщика следовать за S ', это сделает все предопределенным: всякий раз, когда J (тюремщик говорит Бобу), мы знаем, что было невозможно сказать «Карл», таким образом Карл был помилован ,

— Михаил Волхов

-1

После получения информации о том, что Заключенный С умрет, его шансы действительно изменятся на 1/2, но только потому, что вероятность того, что он получит эту информацию, уже составляет 2/3 (вероятность того, что заключенный С получит помилование, составляет 1/3 )

И 2/3 * 1/2 - первоначальная вероятность освобождения.

Более убедительным является оппозиционный подход:

Предположим, что ему говорят, что заключенный С получит прощение.
Каковы его шансы не быть убитым?
Каждый признает, что его шансы равны нулю, при условии, что тюремщик не лжет, и есть только одно прощение.

На этот раз у него есть шанс 1/1, потому что шанс на эту информацию был уже 1/3.

— Sunzi
источник

Это не правильно; см. расчет в ответе Генри, который показывает, что, услышав информацию о тюремщике, заключенный А может умереть с вероятностью 2/3 (не 1/2). Это та же вероятность, что и раньше, поэтому тюремщик прав: то, что он сказал А, ничего не изменило для шансов А на жизнь. Если бы B слушал, хотя, теперь он знал бы, что его шанс умереть был уменьшен до 1/3.

— Рубен ван Берген