Рассмотрим дважды дифференцируемое и симметричное распределение . Теперь рассмотрим второе дважды дифференцируемое распределение перекосом в том смысле, что:$\mathcal{F}_X$$\mathcal{F}_Z$

$$(1)\quad\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Z.$$

где - выпуклый порядок van Zwet [0], так что эквивалентно:$\preceq_c$$(1)$

$$(2)\quad F^{-1}_ZF_X(x)\text{ is convex $\forall x\in\mathbb{R}.$}$$

Теперь рассмотрим третий дважды дифференцируемый дистрибутив удовлетворяющий:$\mathcal{F}_Y$

$$(3)\quad\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$$

Мой вопрос: можем ли мы всегда найти распределение и симметричное распределение чтобы переписать любой (все три определены выше) в терминах композиции и как:$\mathcal{F}_Y$$\mathcal{F}_X$$\mathcal{F}_Z$$\mathcal{F}_X$$\mathcal{F}_Y$

$$F_Z(z)=F_YF_X^{-1}F_Y(z)$$

или нет?

Редактировать:

Например, если - это Вейбулл с параметром формы 3.602349 (чтобы он был симметричным), а - это распределение Вейбулла с параметром формы 3/2 (чтобы он был перекошен) я получилF$\mathcal{F}_X$$\mathcal{F}_Z$

$$\max_z|F_Z(z)-F_YF_X^{-1}F_Y(z)|\approx 0$$

установив в качестве распределения Вейбулла с параметром формы 2.324553. Обратите внимание, что все три распределения удовлетворяют:$\mathcal{F}_Y$

$$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z,$$ как требуется. Интересно, правда ли это вообще (при указанных условиях).

• [0] van Zwet, WR (1979). Среднее значение, медиана, режим II (1979). Statistica Neerlandica. Том 33, выпуск 1, страницы 1--5.

Нет!

Простой контрпример приведен в распределении Tukey (особый случай для распределения Tukey и ).ч = 0 г $g$$h=0$$g$$h$

Например, пусть будет с параметром а будет с параметром и распределением Тьюки для которого . Поскольку , эти три распределения удовлетворяют: g g X =0 F Z g g Z >0 F Y g g Y ≤ g Z h=$\mathcal{F}_X$$g$$g_X=0$$\mathcal{F}_Z$$g$$g_Z>0$$\mathcal{F}_Y$$g$$g_Y\leq g_Z$$h=0$

$$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$$

(первое из определений Тьюки которое симметрично, если , следующие из [0], теорема 2.1 (i)).$g$$g=0$

Например, для имеем:$g_Z=0.5$

$$\min_{g_Y\leq g_Z}\max_z|F_Z(z)-F_YF^{-1}_XF_Y(z)|\approx0.005>0$$

(по какой-то причине, минимум, кажется, всегда около ).$g_Y\approx g_Z/2$

• [0] HL MacGillivray Свойства формы семейств g-and-h и Johnson. Comm. Statist.The Theory Methods, 21 (5) (1992), pp. 1233–1250

---

Редактировать:

В случае с Вейбуллом претензия верна:

Пусть будет распределением Вейбулла с параметром формы (параметр масштаба не влияет на выпуклое упорядочение, поэтому мы можем установить его в 1 без потери общности). Аналогично, , и и .w Z F Y F X w Y $\mathcal{F}_Z$$w_Z$$\mathcal{F}_Y$$\mathcal{F}_X$$w_Y$$w_X$

Прежде всего отметим, что любые три распределения Вейбулла всегда можно упорядочить в смысле [0].

Далее, обратите внимание, что:

$$\mathcal{F}_X=\mathcal{F}_{-X}\implies w_X=3.602349.$$

Теперь для Вейбулла:

$$F_Y(y)=1-\exp((-y)^{w_Y}),\;F_Y^{-1}(q)=(-\ln(1-q))^{1/w_Y},$$

так что

$$F_YF_X^{-1}F_Y(z)=1-\exp(-z^{w_Y^2/w_X}),$$

поскольку

$$F_Z(z)=1-\exp(-z^{w_Z}).$$

Поэтому требование всегда можно удовлетворить, установив .$w_Y=\sqrt{w_Z/w_X}$

• [0] van Zwet, WR (1979). Среднее значение, медиана, режим II (1979). Statistica Neerlandica. Том 33, выпуск 1, страницы 1--5.
• [1] Groeneveld, RA (1985). Асимметрия для семьи Вейбулла. Statistica Neerlandica. Том 40, выпуск 3, страницы 135–140.