Каковы «желательные» статистические свойства теста отношения правдоподобия?

Я читаю статью , метод которой полностью основан на тесте отношения правдоподобия. Автор говорит, что тест LR против односторонних альтернатив является UMP. Он продолжает, утверждая, что

«... даже если невозможно доказать, что [тест LR] является наиболее мощным, тест LR часто имеет желательные статистические свойства».

Мне интересно, что здесь означают статистические свойства. Учитывая, что автор ссылается на попутчиков, я предполагаю, что они общеизвестны среди статистиков.

Единственное желаемое свойство, которое мне удалось найти до сих пор, - это асимптотическое распределение хи-квадрат (при некоторых условиях регулярности), где - отношение LR.$-2 \log \lambda$$\lambda$

Я также был бы благодарен за ссылку на классический текст, где можно прочитать об этих желаемых свойствах.

Было бы неплохо прочитать Что следует, если мы не сможем отвергнуть нулевую гипотезу? до объяснения ниже.

Желаемые свойства: мощность

В тестировании гипотез цель состоит в том, чтобы найти «статистические доказательства» для . Таким образом, мы можем делать ошибки типа I, то есть мы отклоняем (и решаем, что есть доказательства в пользу ), в то время как был истинным (то есть ложным). Таким образом, ошибка типа I - «поиск ложных доказательств» для .H 0 H 1 H 0 H 1 H $H_1$$H_0$$H_1$$H_0$$H_1$$H_1$

Ошибка типа II возникает, когда не может быть отклонено, хотя в действительности оно ложно, т. Е. Мы «принимаем » и «пропускаем» доказательства для .H 0 H $H_0$$H_0$$H_1$

Вероятность ошибки типа I обозначается , выбранный уровень значимости. Вероятность ошибки типа II обозначается как а называется мощностью теста, это вероятность найти доказательства в пользу когда истинно.β 1 - β H 1 H $\alpha$$\beta$$1-\beta$$H_1$$H_1$

В тестировании статистических гипотез ученый устанавливает верхний порог для вероятности ошибки типа I и в соответствии с этим ограничением пытается найти тест с максимальной мощностью, заданной .$\alpha$

Желательные свойства тестов отношения правдоподобия связаны с мощностью

В тесте гипотезы против нулевая гипотеза и альтернативная гипотеза называются «простыми», то есть параметр фиксируется на одном значении, так же, как в как и в (точнее; распределения полностью определены). H 1 : θ = θ 1 H 0 H $H_0: \theta=\theta_0$$H_1: \theta = \theta_1$$H_0$$H_1$

Нейман-Пирсон лемма утверждает , что для проверки гипотез с простыми гипотезами, и для заданной вероятности ошибки типа I, тест отношения правдоподобия имеет самую высокую мощность. Очевидно, что высокая мощность, заданная является желательным свойством: мощность - это мера того, «насколько легко найти доказательства для ».H $\alpha$$H_1$

Когда гипотеза сложна; например, против тогда лемма Неймана-Пирсона не может быть применена, потому что в есть «множественные значения ». Если можно найти такой тест, чтобы он был наиболее мощным для каждого значения «ниже », то этот тест называется «равномерно наиболее мощным» (UMP) (т. Е. Наиболее мощным для каждого значения в ).H 1 : θ > θ 1 H 1 H 1 H 1$H_0: \theta = \theta_1$$H_1: \theta > \theta_1$$H_1$$H_1$$H_1$

Есть теорема Карлина и Рубина, которая дает необходимые условия для того, чтобы критерий отношения правдоподобия был равномерно наиболее мощным. Эти условия выполняются для многих односторонних (одномерных) тестов.

Таким образом, желаемое свойство теста отношения правдоподобия заключается в том, что в нескольких случаях он имеет наибольшую мощность (хотя и не во всех случаях).

В большинстве случаев существование теста UMP не может быть показано, и во многих случаях (особенно многовариантном) может быть показано, что тест UMP не существует. Тем не менее, в некоторых из этих случаев тесты отношения правдоподобия применяются из-за их желательных свойств (в вышеприведенном контексте), потому что их относительно легко применять, а иногда потому, что другие тесты не могут быть определены.

Например, односторонним тестом, основанным на стандартном нормальном распределении, является UMP.

Интуиция позади теста отношения правдоподобия:

Если я хочу , чтобы тест против то необходимо наблюдение полученных из образца. Обратите внимание, что это одно значение. H 1 : θ = θ 1$H_0: \theta=\theta_0$$H_1: \theta = \theta_1$$o$

Мы знаем, что либо истинно, либо истинно, поэтому можно вычислить вероятность когда истинно (давайте назовем это ), а также вероятность наблюдения когда истинно (назовите это ).H 1 o H 0 L 0 o H 1 L $H_0$$H_1$$o$$H_0$$L_0$$o$$H_1$$L_1$

Если то мы склонны считать, что «вероятно истинно». Поэтому, если соотношение у нас есть основания полагать, что более реалистичен, чем . H 1 L $L_1 > L_0$$H_1$H1H$\frac{L_1}{L_0} > 1$$H_1$$H_0$

Если будет примерно таким же, как то мы можем заключить, что это может быть случайно, поэтому для решения нам нужен тест и, следовательно, распределение которое является .. соотношение двух вероятностей. 1.001L$\frac{L_1}{L_0}$$1.001$$\frac{L_1}{L_0}$

Я нашел этот PDF в Интернете.