Оценщик для биномиального распределения

12

Как определить оценку для данных, поступающих из биномиального распределения? Для Бернулли я могу думать об оценщике, оценивающем параметр p, но для бинома я не вижу, какие параметры оценивать, когда у нас есть n, характеризующее распределение?

Обновить:

Под оценкой я подразумеваю функцию наблюдаемых данных. Оценщик используется для оценки параметров распределения, генерирующих данные.

estimation binomial

— Рохит Банга
источник

Что вы понимаете под оценкой? Мне интересно об этом, потому что оценщики не имеют «параметров». Меня беспокоит, что вы не четко доносите свой вопрос. Может быть, вы могли бы привести конкретный пример реальной ситуации, которую вы рассматриваете.

— whuber

@whuber добавил больше информации. дайте мне знать, если вы хотите, чтобы я добавил больше деталей или мое понимание неверно.

— Рохит Банга

Редактирование правильное, но конкретный пример все равно поможет. Во многих применениях биномиального распределения не является параметром: он задан, а является единственным параметром, который должен быть оценен. Например, количество успехов в независимых идентично распределенных испытаниях Бернулли имеет биномиальное ( , ) распределение, и одна оценка единственного параметра равна .

n

$n$

p

$p$

k

$k$

n

$n$

n

$n$

p

$p$

p

$p$

k / n

$k/n$

— whuber

2

Я хотел бы видеть пример, даже надуманный, для оценки как и (в частых условиях). Подумайте об этом: вы наблюдаете один счет, k , скажем, . Мы ожидаем, что примерно равно . Так мы оцениваем , ? Или, может быть, , ? Или почти что-нибудь еще? :-) Или вы предлагаете иметь ряд независимых наблюдений из общего биномиального распределения с обоими и

n

$n$

p

$p$

k = 5

$k=5$

k

$k$

n p

$n p$

n = 10

$n=10$

p = 0.5

$p=0.5$

n = 5000

$n=5000$

p = 0.001

$p=0.001$

k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}

$k_1, k_2, \ldots, k_m$

(n, p)

$(n,p)$

p

$p$

n

$n$ неизвестно?

— whuber

1

Я предлагаю последнее - оба p и n неизвестны. Я хочу, чтобы оценка как для n, так и для p была функцией N наблюдаемых точек данных.

— Рохит Банга

12

Я думаю, что вы ищете функцию генерации вероятности. Вывод функции, генерирующей вероятность биномиального распределения, можно найти в

http://economictheoryblog.com/2012/10/21/binomial-distribution/

Тем не менее, взглянуть на Википедию в наше время всегда хорошая идея, хотя я должен сказать, что спецификацию бинома можно улучшить.

https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution#Specification

— ProofGauss
источник

1

Каждый дистрибутив имеет неизвестные параметры. Например, в распределении Бернулли есть один неизвестный параметр вероятности успеха (p). Аналогично в биномиальном распределении есть два неизвестных параметра n и p. Это зависит от вашей цели, какой неизвестный параметр вы хотите оценить. Вы можете исправить один параметр и оценить другой. Для получения дополнительной информации см. Это

— любовь-статистика
источник

Что если я захочу оценить оба параметра?

— Рохит Банга

1

Для оценки максимального правдоподобия вы должны взять производную функции правдоподобия по интересующему параметру (ам) и приравнять это уравнение к нулю, и решить это уравнение. Я хочу сказать, что процедура такая же, как вы делали при оценке «р». Вы должны сделать то же самое с 'n'. проверьте это www.montana.edu/rotella/502/binom_like.pdf

— love-stats

@love Ваша справочная оценка только

, принимая

как фиксированный.

p

$p$

N

$N$

— whuber

-1 @ любовная Статистика примера ситуации , в которой принимает производную функции правдоподобия, приравнивая его к

, и т.д. не работает , см этой попытки и правильное решение

0

$0$

— Дилип Sarwate

1

Скажем, у вас есть данные . $k_1, \dots, k_m \sim \text{iid binomial}(n, p)$

Вы могли бы легко получить методом-на-момент оценок с помощью настройки и и решения для и . $\bar{k} = \hat{n}\hat{p}$ $s_k^2 = \hat{n}\hat{p}(1-\hat{p})$ $\hat{n}$ $\hat{p}$

Или вы можете рассчитать MLE (возможно, просто численно), например, используя optimв R.

— Карл
источник

Оказывается, что ОМП действительно ужасен для

--they смещаются и очень переменные, даже при больших выборках. Я не изучал оценки ММ, отчасти потому, что они часто даже не определены (когда

, что происходит).

p < 1 / 2

$p \lt 1/2$

s^{2} / \bar{k} > 1

$s^2/\bar{k} \gt 1$

— whuber

@whuber - он не просил хорошего оценщика. ;)

— Карл

1

\hat{n}

$\hat{n}$

\hat{p} = 1 / 2

$\hat{p}=1/2$

n p

$np$

\hat{n} \approx max k_{i}

$\hat{n} \approx \max k_i$

p

$p$

1

$1$

p

$p$

n

$n$

n

$n$

0

Я думаю, что мы могли бы использовать метод оценки моментов, чтобы оценить параметры биномиального распределения по среднему значению и дисперсии.

$p$ $m$ $m$ $p$

m p = \bar{X}, m p (1 - p) = S^{2} .

$mp =\bar{X},\quad mp(1-p) = S^2.$

Простые арифметические показы: [S ^ 2 = mp \ left (1 - p \ right) = \ bar {X} \ left (1 - p \ right)] [S ^ 2 = \ bar {X} - \ bar {X } p] [\ bar {X} p = \ bar {X} -S ^ 2, \ mbox {следовательно} \ hat {p} = \ frac {\ bar {X} -S ^ 2} {\ bar {X }}.] Затем [\ bar {X} = mp, \ mbox {то есть} m \ left (\ frac {\ bar {X} -S ^ 2} {\ bar {X}} \ right)] [\ bar {X} = m \ left (\ frac {\ bar {X} -S ^ 2} {\ bar {X}} \ right), \ mbox {или} \ hat {m} = \ frac {\ бар {X} ^ 2} {\ бар {X} -S ^ 2}. ]

— Сальма
источник

1

Было бы хорошо, если бы вы могли расширить это, например, написав формулу для оценки MoM. В противном случае ответ не является самостоятельным; другие (которые еще не знают ответ) должны будут искать в Интернете «метод моментов» и т. д., пока не найдут реальный ответ.

— Jbowman

Есть ли способ правильно отобразить математику?

— Давид Рафаэли