Почему CDF образца равномерно распределен

Я читал здесь , что данный образец $X_1,X_2,...,X_n$ из непрерывного распределения с cdf $F_X$ , выборка, соответствующая $U_i = F_X(X_i)$ следует стандартному равномерному распределению.

Я проверил это, используя качественное моделирование в Python, и мне было легко проверить связь.

import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats

xs = scipy.stats.norm.rvs(5, 2, 10000)

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(9, 3))
axes[0].hist(xs, bins=50)
axes[0].set_title("Samples")
axes[1].hist(
    scipy.stats.norm.cdf(xs, 5, 2),
    bins=50
)
axes[1].set_title("CDF(samples)")

В результате получается следующий сюжет:

График, показывающий образец нормального распределения и cdf образца.

Я не могу понять, почему это происходит. Я предполагаю, что это связано с определением CDF и его отношением к PDF, но я что-то упустил ...

Я был бы признателен, если бы кто-то мог указать мне на чтение по этой теме или помочь мне получить некоторую интуицию по этому вопросу.

РЕДАКТИРОВАТЬ: CDF выглядит следующим образом:

CDF выборочного распределения

— Максим Тремблэй
источник

Вычислить cdf из

F_{X} (X)

$F_X(X)$

— Zhanxiong

Вы можете найти доказательство этого свойства (для непрерывных rv) в любой книге об симуляции, поскольку это является основой метода обратного моделирования cdf.

— Сиань

Также попробуйте Google Интегральное преобразование вероятности

— Захари Блюменфельд

@ Сиань Хорошо отметить, что заключение справедливо только для непрерывных случайных величин. Иногда этот результат ошибочно используется для дискретных случайных величин. С другой стороны, также отметим, что многие доказательства включают в себя шаг

в котором предполагается строгая монотонность

, что также является слишком сильным предположением. Следующая ссылка содержитподробноерезюме по этой теме:people.math.ethz.ch/~embrecht/ftp/generalized_inverse.pdf

P (F (X) \leq x) = P (X \leq F^{- 1} (x))

$P(F(X) \leq x) = P(X \leq F^{-1}(x))$

F

$F$

— Zhanxiong

@Zhanxiong единственное условие, необходимое для

это то, что это càdlàg.

F

$F$

— AdamO

Предположим, что непрерывно и возрастает. Определите и обратите внимание, что принимает значения в . Тогда $F_X$ $Z = F_X(X)$ $Z$ $[0, 1]$

F_{Z} (x) = P (F_{X} (X) \leq x) = P (X \leq F_{X}^{- 1} (x)) = F_{X} (F_{X}^{- 1} (x)) = x .

$F_Z(x) = P(F_X(X) \leq x) = P(X \leq F_X^{-1}(x)) = F_X(F_X^{-1}(x)) = x.$

С другой стороны, если является равномерной случайной величиной, которая принимает значения в , $U$ $[0, 1]$

F_{U} (x) = \int_{R} f_{U} (u) d u = \int_{0}^{x} d u = x .

$F_U(x) = \int_R f_U(u)\,du =\int_0^x \,du =x.$

Таким образом, для любого . $F_Z(x) = F_U(x)$ $x\in[0, 1]$

— Hunaphu
источник

Следует ли из этого, что Z имеет равномерное (0, 1) распределение?

— StatsSorceress

@StatsSorceress Да, вы правы.

имеет стандартное равномерное распределение по

Z

$Z$

(0, 1) .

$(0,1).$

— Idonknow

$F(x)$ $F(x)$ $F$ $x$ $F^{-1}$ $x = F^{-1}(p)$ $x$ $p$ $F \circ F^{-1} =_\lambda F^{-1} \circ F$

$F$ $a < b$ $P(F^{-1}(a) < x < F^{-1}(b)) = P(a < F(X) < b) = b-a$

— Adamo
источник

Y = F (X)

$Y = F(X)$