Что означает «беспристрастность»?

• Что значит сказать, что «дисперсия является необъективной оценкой».
• Что означает преобразование смещенной оценки в несмещенную оценку с помощью простой формулы. Что именно делает это преобразование?
• Кроме того, какова практическая польза от этого преобразования? Вы конвертируете эти баллы при использовании определенного вида статистики?

Вы можете найти все здесь . Тем не менее, вот краткий ответ.

Пусть и - среднее значение и дисперсия интереса; Вы хотите оценить на основе выборки размера .σ 2 σ 2$\mu$$\sigma^2$$\sigma^2$$n$

Теперь допустим, что вы используете следующую оценку:

$S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_{i} - \bar{X})^2$ ,

где - оценка .$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$$\mu$

Нетрудно (см. Сноску) увидеть, что$E[S^2] = \frac{n-1}{n}\sigma^2$ .

Поскольку , оценка S 2 называется смещенной.$E[S^2] \neq \sigma^2$$S^2$

Но заметьте, что . Поэтому ~ S 2=$E[\frac{n}{n-1} S^2] = \sigma^2$- несмещенная оценкаσ2.$\tilde{S}^2 = \frac{n}{n-1} S^2$$\sigma^2$

сноска

Начните с записи а затем разверните произведение ...$(X_i - \bar{X})^2 = ((X_i - \mu) + (\mu - \bar{X}))^2$

Изменить для учета ваших комментариев

Ожидаемое значение не дает σ 2 (и, следовательно, S 2 смещено), но оказывается, что вы можете преобразовать S 2 в ˜ S 2, так что ожидание действительно дает σ 2 .$S^2$$\sigma^2$$S^2$$S^2$$\tilde{S}^2$$\sigma^2$

На практике часто предпочитают работать с вместо S 2 . Но, если n достаточно велико, это не большая проблема, так как $\tilde{S}^2$$S^2$$n$.$\frac{n}{n-1} \approx 1$

Замечание Обратите внимание, что непредвзятость является свойством оценки, а не ожидания, как вы написали.

Этот ответ проясняет ответ Окрама. Основная причина (и распространенное недоразумение) для заключается в том, что S 2 использует оценку ˉ X, которая сама оценивается по данным.$E[S^2] \neq \sigma^2$$S^2$$\bar{X}$

Если вы проработаете вывод, вы увидите, что дисперсия этой оценки - это именно то, что дает дополнительную - σ $E[(\bar{X}-\mu)^2]$ термин$-\frac{\sigma^2}{n}$

Объяснение, которое дал @Ocram, великолепно. Чтобы объяснить то, что он сказал словами: если мы вычислим путем деления только на n (что интуитивно понятно), наша оценка s 2 будет занижена. Чтобы компенсировать это, мы делим на n - 1 .$s^2$$n$$s^2$$n-1$

Вот упражнение: Составьте дискретную вероятность с 2 исходами, скажем, и P ( 6 ) = .75 . Найти µ и σ для этого распределения. Рассчитайте µ и σ для среднего значения для образца, когда n = 3 . Рассчитайте все возможные выборки размером n = 3 . Рассчитайте s 2 по этим выборкам и примените соответствующие частоты. $P(2) = .25$$P(6) = .75$$\mu$$\sigma$$\mu$$\sigma$$n = 3$$n =3$$s^2$

Иногда тебе нужно запачкать руки.

Обычно использование «n» в знаменателе дает меньшие значения, чем дисперсия населения, что мы и хотим оценить. Особенно это происходит, если брать маленькие образцы. На языке статистики мы говорим, что выборочная дисперсия дает «смещенную» оценку дисперсии населения и должна быть «беспристрастной».

Это видео ответит на каждую часть вашего вопроса адекватно.

https://www.youtube.com/watch?v=xslIhnquFoE