Дисперсия произведения зависимых переменных

32

Какова формула для дисперсии произведения зависимых переменных?

В случае независимых переменных формула проста:

v a r (X Y) = E (X^{2} Y^{2}) - E (X Y)^{2} = v a r (X) v a r (Y) + v a r (X) E (Y)^{2} + v a r (Y) E (X)^{2}

${\rm var}(XY) = E(X^{2}Y^{2}) - E(XY)^{2} = {\rm var}(X){\rm var}(Y) + {\rm var}(X)E(Y)^2 + {\rm var}(Y)E(X)^2$ Но какова формула для коррелированных переменных?

Кстати, как я могу найти корреляцию на основе статистических данных?

correlation variance

— Рига
источник

32

Ну, используя знакомую личность, которую вы указали,

v a r (X Y) = E (X^{2} Y^{2}) - E (X Y)^{2}

${\rm var}(XY) = E(X^{2}Y^{2}) - E(XY)^{2}$

Используя аналогичную формулу для ковариации,

E (X^{2} Y^{2}) = c o v (X^{2}, Y^{2}) + E (X^{2}) E (Y^{2})

$E(X^{2}Y^{2}) = {\rm cov}(X^{2}, Y^{2}) + E(X^2)E(Y^2)$

а также

E (X Y)^{2} = [c o v (X, Y) + E (X) E (Y)]^{2}

$E(XY)^{2} = [ {\rm cov}(X,Y) + E(X)E(Y) ]^{2}$

что подразумевает, что в общем случае можно записать как ${\rm var}(XY)$

c o v (X^{2}, Y^{2}) + [v a r (X) + E (X)^{2}] \cdot [v a r (Y) + E (Y)^{2}] - [c o v (X, Y) + E (X) E (Y)]^{2}

${\rm cov}(X^{2}, Y^{2}) + [{\rm var}(X) + E(X)^2] \cdot[{\rm var}(Y) + E(Y)^2] - [ {\rm cov}(X,Y) + E(X)E(Y) ]^{2}$

Обратите внимание, что в случае независимости ${\rm cov}(X^2,Y^2) = {\rm cov}(X,Y) = 0$ и это сводится к

[v a r (X) + E (X)^{2}] \cdot [v a r (Y) + E (Y)^{2}] - [E (X) E (Y)]^{2}

$[{\rm var}(X) + E(X)^2] \cdot[{\rm var}(Y) + E(Y)^2] - [ E(X)E(Y) ]^{2}$

и два $[ E(X)E(Y) ]^{2}$ условия отменяются, и вы получите

v a r (X) v a r (Y) + v a r (X) E (Y)^{2} + v a r (Y) E (X)^{2}

${\rm var}(X){\rm var}(Y) + {\rm var}(X)E(Y)^{2} + {\rm var}(Y)E(X)^{2}$

как вы указали выше.

Изменить: Если все, что вы наблюдаете, это а не и отдельности, то я не думаю, что у вас есть способ оценить или за исключением особых случаев (например, если имеют средства, которые известны априори ) $XY$ $X$ $Y$ ${\rm cov}(X,Y)$ ${\rm cov}(X^2,Y^2)$ $X,Y$

— макрос
источник

2

почему вместо E (X2) E (Y2) вы ставите [var (X) + E (X) 2] ⋅ [var (Y) + E (Y) 2] ???

1

@ user35458, поэтому он может в итоге получить уравнение в виде выражения var (X) и var (Y), что сравнимо с утверждением OP. Обратите внимание, что E (X ^ 2) = Var (X) + E (X) ^ 2.

— Waldir Leoncio

2

Чтобы ответить (в автономном режиме) на теперь удаленный запрос на достоверность этого ответа, я сравнил его результаты с прямым расчетом дисперсии продукта во многих симуляциях. Это непрактичная формула, которую можно использовать, если вы можете ее избежать, потому что она может потерять существенную точность из-за отмены вычитания одного большого члена из другого - но это не главное. Следует опасаться, что этот вопрос касается случайных величин. Его результаты применяются к данным при условии, что вы вычисляете дисперсии и ковариации, используя знаменатели а не $n$ $n-1$ (как обычно для программного обеспечения).

— whuber

14

Это дополнение к очень хорошему ответу @ Macro, в котором излагается именно то, что нужно знать, чтобы определить дисперсию произведения двух коррелированных случайных величин. Так как где , , , и

\begin{aligned} (1) & var (X Y) & = E [(X Y)^{2}] - {(E [X Y])}^{2} \\ = E [(X Y)^{2}] - {(cov (X, Y) + E [X] E [Y])}^{2} \\ (2) & = E [X^{2} Y^{2}] - {(cov (X, Y) + E [X] E [Y])}^{2} \\ (3) & = (cov (X^{2}, Y^{2}) + E [X^{2}] E [Y^{2}]) - {(cov (X, Y) + E [X] E [Y])}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{var}(XY) &= E\left[(XY)^2\right] - \left(E[XY]\right)^2 \tag{1}\\ &= E[(XY)^2] - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\\ &= E[X^2Y^2] - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\tag{2}\\ &= \left(\operatorname{cov}(X^2,Y^2)+E[X^2]E[Y^2]\right) - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\tag{3}\\ \end{align}$

cov (X, Y)

$\operatorname{cov}(X,Y)$

E [X]

$E[X]$

E [Y]

$E[Y]$

E [X^{2}]

$E[X^2]$

E [Y^{2}]

$E[Y^2]$ можно считать известными величинами, мы должны быть в состоянии определить значение в или в . В общем, это нелегко сделать, но, как уже указывалось, если и являются независимыми случайными величинами, то . На самом деле, ключевым фактором является зависимость, а не корреляция (или ее отсутствие). То, что мы знаем, что равно вместо некоторого ненулевого значения, само по себе не

E [X^{2} Y^{2}]

$E\left[X^2Y^2\right]$

(2)

$(2)$

cov (X^{2}, Y^{2})

$\operatorname{cov}(X^2,Y^2)$

(3)

$(3)$

X

$X$

Y

$Y$

cov (X, Y) = cov (X^{2}, Y^{2}) = 0

$\operatorname{cov}(X,Y) = \operatorname{cov}(X^2,Y^2) = 0$

cov (X, Y)

$\operatorname{cov}(X,Y)$

0

$0$ помощь в крайней мере , в наших усилиях определения стоимости или , даже если он действительно упрощать правые части и немного.

E [X^{2} Y^{2}]

$E\left[X^2Y^2\right]$

cov (X^{2}, Y^{2})

$\operatorname{cov}(X^2,Y^2)$

(2)

$(2)$

(3)

$(3)$

Когда и являются зависимыми случайными величинами, то по меньшей мере в одном (довольно общем или довольно важном) особом случае, то это можно найти значение относительно легко. $X$ $Y$ $E\left[X^2Y^2\right]$

Предположим, что и - совместно нормальные случайные величины с коэффициентом корреляции . Затем, кондиционером на , то условная плотность является нормальной плотности со средним и дисперсия . Таким образом, $X$ $Y$ $\rho$ $X = x$ $Y$ $E[Y] + \rho\left.\left.\sqrt{\frac{\operatorname{var}(Y)}{\operatorname{var}(X)}} \right(x-E[X]\right)$ $\operatorname{var}(Y)(1-\rho^2)$

\begin{aligned} E [X^{2} Y^{2} ∣ X] & = X^{2} E [Y^{2} ∣ X] \\ = X^{2} [var (Y) (1 - ρ^{2}) + {(E [Y] + ρ \sqrt{\frac{var (Y)}{var (X)}} (X - E [X]))}^{2}] \end{aligned}

$\begin{align}E[X^2Y^2 \mid X] &= X^2E[Y^2 \mid X]\\ &= X^2\left[\operatorname{var}(Y)(1-\rho^2) + \left(E[Y] + \rho\left.\left.\sqrt{\frac{\operatorname{var}(Y)}{\operatorname{var}(X)}} \right(X-E[X]\right)\right)^2\right] \end{align}$ который является квартичной функцией , скажем, , и закон повторного ожидания говорит нам, что где правая часть может быть вычислена на основе знания 3-го и 4-го моментов - стандартных результатов, которые можно найти во многих текстах и справочниках (то есть что мне лень их искать и включать в этот ответ).

X

$X$

g (X)

$g(X)$

\begin{matrix} (4) & E [X^{2} Y^{2}] = E [E [X^{2} Y^{2} ∣ X]] = E [g (X)] \end{matrix}

$E[X^2Y^2] = E\left[E[X^2Y^2\mid X]\right] = E[g(X)]\tag{4}$

(4)

$(4)$

X

$X$

Дальнейшее добавление: в удаленном ответе @Hydrologist задает дисперсию как и утверждает, что эта формула это из двух работ, опубликованных полвека назад в JASA. Эта формула является неправильной транскрипцией результатов в статьях, цитируемых Гидрологом. В частности, $XY$

\begin{matrix} (5) & V a r [x y] = {(E [x])}^{2} V a r [y] + {(E [y])}^{2} V a r [x] + 2 E [x] C o v [x, y^{2}] + 2 E [y] C o v [x^{2}, y] + 2 E [x] E [y] C o v [x, y] + C o v [x^{2}, y^{2}] - {(C o v [x, y])}^{2} \end{matrix}

$\mathrm{Var}\left[xy\right] = \left(\mathrm{E}\left[x\right]\right)^2\mathrm{Var}\left[y\right] + \left(\mathrm{E}\left[y\right]\right)^2\mathrm{Var}\left[x\right] + 2\mathrm{E}\left[x\right]\mathrm{Cov}\left[x,y^2\right] + 2\mathrm{E}\left[y\right]\mathrm{Cov}\left[x^2,y\right]\\ + 2\mathrm{E}\left[x\right]\mathrm{E}\left[y\right]\mathrm{Cov}\left[x,y\right] +\mathrm{Cov}\left[x^2,y^2\right] - \left(\mathrm{Cov}\left[x,y\right]\right)^2 \tag{5}$

C o v [x^{2}, y^{2}]

$\mathrm{Cov}\left[x^2,y^2\right]$ является ошибочной в статье журнала, и аналогично для и .

E [(x - E [x])^{2} (y - E [y])^{2}]

$E[(x-E[x])^2(y-E[y])^2]$

C o v [x^{2}, y]

$\mathrm{Cov}\left[x^2,y\right]$

C o v [x, y^{2}]

$\mathrm{Cov}\left[x,y^2\right]$

— Дилип Сарватэ
источник

Для вычисления в совместном нормальном случае, также см. Math.stackexchange.com/questions/668641/…

E (X^{2} Y^{2})

$E(X^2 Y^2)$

— Сэмюэль Рид