Значимость различия между двумя пунктами

Есть ли способ определить, отличается ли разница между количеством дорожно-транспортных происшествий в момент времени 1 от количества в момент времени 2?

Я нашел разные методы для определения различий между группами наблюдений в разное время (например, сравнение средних Пуассона), но не для сравнения только двух отсчетов. Или это даже неверно пытаться? Любой совет или направление будут оценены. Я счастлив следить за собой, ведет себя.

Если вы счастливы предположить, что каждый счет соответствует распределению Пуассона (со своим собственным средним значением при альтернативной гипотезе; с общим средним значением при нулевом значении), то нет проблем - просто вы не можете проверить это предположение без повторов. Чрезмерная дисперсия может быть довольно распространенной для данных подсчета.

Точный тест с учетом подсчетов и x 2 является простым, поскольку общая сумма отсчетов n = x 1 + x 2 является вспомогательной; кондиционирование на нем дает X 1 ∼ B i n ( $x_1$$x_2$$n=x_1+x_2$как распределение вашей тестовой статистики под нулевым значением. ^†Это интуитивный результат: общий подсчет, отражающий, возможно, сколько времени вы потратили на наблюдение двух пуассоновских процессов, не несет информации об их относительных скоростях, но влияет на мощность вашего теста; и поэтому другие общие показатели, которые вы могли бы получить, не имеют значения.$X_1 \sim \mathrm{Bin}\left(\frac{1}{2},n\right)$

См. Проверка гипотез на основе вероятности для теста Вальда (приближение).

† Каждый отсчет имеет распределение Пуассона со средним λ i f X ( x i ) = λ x i i e - λ $x_i$$\lambda_i$ репараметризовать как

$$\newcommand{\e}{\mathrm{e}} f{_X}(x_i)=\frac{\lambda_i^{x_i}\e^{-\lambda_i}}{x_i!}\qquad i=1,2$$ гдеθ- то, что вас интересует, &ϕ- параметр неприятности. Затем объединенная функция массы может быть переписана: f X 1 , X 2 ( x 1 , x 2 $$\begin{align} \theta&=\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\\ \phi&=\lambda_1+\lambda_2 \end{align}$$ $\theta$$\phi$ Общее числопявляется вспомогательным дляthetas, имеющее распределение Пуассона со среднимффN(п $$\begin{align} f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)&=\frac{\lambda_1^{x_1}\lambda_2^{x_2}\e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}}{x_1!x_2!}\\ f_{X_1,N}(x_1,n)&=\frac{\theta^{x_1}(1-\theta)^{n-x_1}\cdot\phi^n\e^{-\phi}}{x_1!(n-x_1)!} \end{align}$$ $n$$\theta$$\phi$ в то время как условное распределениеX1данопявляется биномиальным с вероятностью Бернуллиthetas& нет. испытанияnfX1| n(x1;n $$\begin{align} f_N(n)&= \sum_{x_1=0}^{\infty}f_{X_1,N}(x_1,n)\\ &=\frac{\phi^n\e^{-\phi}}{n!}\sum_{x_1=0}^{\infty}\frac{n!}{x_1!(n-x_1)!}\theta^{x_1}(1-\theta)^{n-x_1}\\ &=\frac{\phi^n\e^{-\phi}}{n!} \end{align}$$ $X_1$$n$$\theta$$n$ $$\begin{align} f_{X_1|n}(x_1;n)&=\frac{f_{X_1,N}(x_1,n)}{f_N(n)}\\ &=\frac{\theta^{x_1}(1-\theta)^{n-x_1}\cdot\phi^n\e^{-\phi}}{x_1!(n-x_1)!}\cdot\frac{n!}{\phi^n\e^{-\phi}}\\ &=\frac{n!}{x_1!(n-x_1)!}\theta^{x_1}(1-\theta)^{n-x_1} \end{align}\\$$