Разница двух iid логнормальных случайных величин

Пусть и X 2 будут 2 iidrv, где log ( X 1 ) , log ( X 2 ) ∼ N ( μ , σ ) . Я хотел бы знать распределение для X 1 - X 2 .$X_1$$X_2$$\log(X_1),\log(X_2) \sim N(\mu,\sigma)$$X_1 - X_2$

Лучшее, что я могу сделать, - это взять ряд Тейлора обоих и получить, что разница представляет собой сумму разности между двумя нормальными и двумя квадратами хи-квадрат в дополнение к остальной разнице между остальными терминами. Есть ли более простой способ получить распределение разницы между 2 iid log-normal rv's?

Это сложная проблема. Сначала я подумал об использовании (некоторой аппроксимации) производящей момент функции логнормального распределения. Это не работает, как я объясню. Но сначала несколько обозначений:

Пусть - стандартная нормальная плотность, а Φ - соответствующая кумулятивная функция распределения. Мы будем только анализировать случай логнормального распределения l n N ( 0 , 1 ) , которое имеет функцию плотности f ( x ) = $\phi$$\Phi$$lnN(0,1)$ и кумулятивная функция распределения F(x)=Φ(lnx). Предположим, чтоXиY- независимые случайные величины с приведенным выше логнормальным распределением. Нас интересует распределениеD=X-Y, которое является симметричным распределением со средним нулем. ПустьM(t)=Eet∈(-∞,0

$$f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}x} e^{-\frac12 (\ln x)^2}$$ $$F(x) =\Phi(\ln x)$$ $X$$Y$$D=X-Y$ функциягенерирующий моментаX. Определяется только для$M(t) = \DeclareMathOperator{\E}{E} \E e^{tX}$$X$$t\in (-\infty,0]$ , поэтому не определено в открытом интервале, содержащем ноль. Функция генерирования момента для имеет вид M D ( t ) = E e t ( X - Y ) = E e t X E e - t Y = M ( t ) M ( - t ) . Таким образом, производящая момент функция для D определена только для t = $D$$M_D(t)=\E e^{t(X-Y)}= \E e^{tX} \E e^{-tY}= M(t)M(-t)$$D$$t=0$так что не очень полезно.

$D$$t\ge 0$

$$\begin{align} P(D \le t) &= P(X-Y\le t) \\ &= \int_0^\infty P(X-y\le t | Y=y) f(y) \; dy \\ &= \int_0^\infty P(X\le t+y) f(y) \; dy \\ &= \int_0^\infty F(t+y) f(y) \; dy \end{align}$$ (and the case $t<0$ is solved by symmetry, we get $P(D\le t)=1-P(D\le |t|)$).

This expression can be used for numerical integration or as a basis for simulation. First a test:

 integrate(function(y) plnorm(y)*dlnorm(y), lower=0,  upper=+Inf)
  0.5 with absolute error < 2.3e-06

which is clearly correct. Let us wrap this up inside a function:

pDIFF  <-  function(t) {
    d  <-  t
    for (tt in seq(along=t)) {
        if (t[tt] >= 0.0) d[tt] <- integrate(function(y) plnorm(y+t[tt])*dlnorm(y),
                                         lower=0.0,  upper=+Inf)$value else
                          d[tt] <- 1-integrate(function(y) plnorm(y+abs(t[tt]))*dlnorm(y),
                                         lower=0.0, upper=+Inf)$value
    }
    return(d)
}

> plot(pDIFF,  from=-5,  to=5)

which gives:

Then we can find the density function by differentiating under the integral sign, obtaining

dDIFF  <-  function(t) {
       d  <- t; t<- abs(t)
       for (tt in seq(along=t)) {
           d[tt]  <-  integrate(function(y) dlnorm(y+t[tt])*dlnorm(y),
                                lower=0.0,  upper=+Inf)$value
       }
       return(d)
}

which we can test:

> integrate(dDIFF,  lower=-Inf,  upper=+Inf)
0.9999999 with absolute error < 1.3e-05

And plotting the density we get:

plot(dDIFF,  from=-5,  to=5)

I did also try to get some analytic approximation, but so far didn't succeed, it is not an easy problem. But numerical integration as above, programmed in R is very fast on modern hardware, so is a good alternative which probably should be used much more.

This does not strictly answer your question, but wouldn't it be easier to look at the ratio of the $X$ and $Y$? You then simply arrive at

$$\begin{align} \Pr\left(\frac{X}{Y} \leq t\right) &= \Pr\left(\log\left(\frac{X}{Y}\right) \leq \log(t) \right) \\ &= \Pr(\log(X) - \log(Y) \leq \log(t)) \\ &\sim \mathcal{N}(0, 2 \sigma^2) \end{align}$$

Depending on your application, this may serve your needs.