Различают краткосрочные и долгосрочные эффекты

Я прочитал в газете следующее предложение:

Тот факт, что есть разница между краткосрочными и долгосрочными коэффициентами, является результатом нашей спецификации, которая включает в себя отстающие эндогенные переменные.

Они запускают регрессию в первых различиях и включают отставание зависимой переменной.
Теперь они утверждают, что если вы посмотрите на оценку (например, давайте назовем эту оценку $p$ ) из выходных данных, то это краткосрочный эффект $p$ для зависимой переменной.
Далее они утверждают, что рассмотрение $p$ / (1 - оценка лага) дает долгосрочный эффект p на зависимую переменную.

Документ можно найти по адресу : https://www.ecb.europa.eu/pub/pdf/scpwps/ecbwp1328.pdf и их обсуждение краткосрочного / долгосрочного эффекта на стр. 20 в сноске 23.

Я не совсем понимаю, почему вы можете различить краткосрочный и долгосрочный эффект $p$ для зависимой переменной. Если бы кто-то мог объяснить свою идею более подробно, это было бы очень полезно.

Предположим, у вас есть модель измеряет мгновенный эффект (или кратковременный эффект ) на .

Обратите внимание, что включен в модель. Поскольку влияет на , также будет влиять на через зависимую переменную с задержкой, и размер этого эффекта будет .$y_{t-1}$$x_t$$y_t$$x_t$$y_{t+1}$$\beta \gamma x_t$

На этом история не заканчивается. Эффект на будет . Эффект на будет . И так далее. Если вы суммируете мгновенный эффект и все отложенные эффекты вплоть до бесконечного будущего, вы получите кумулятивный эффект на который будет (где вы используйте формулу для бесконечной суммы затухающих геометрических рядов, см. Википедию ). Это то, что называется долгосрочным эффектом .$x_t$$y_{t+2}$$\beta^2 \gamma x_t$$x_t$$y_{t+3}$$\beta^3 \gamma x_t$$x_t$$y$$\frac{1}{1-\beta}\gamma x_t$

Модель выше может быть обобщена для более сложных структур запаздывания, но идея остается той же; Отстающие зависимые переменные увековечивают эффект в бесконечном будущем.