Чтобы справиться с «небольшой работой», предложенной Ивом в комментариях, геометрия предлагает строгое и полностью общее доказательство.
При желании вы можете заменить все ссылки на области интегралами, а ссылки на «произвольные» обычными аргументами epsilon-delta. Перевод прост.
Чтобы настроить картинку, пусть будет функцией выживанияг
G ( x ) = 1 - F( х ) = Pr ( X> х ) .
На рисунке участки часть . (Обратите внимание на скачок на графике: это конкретное распределение не является непрерывным.) Показано большое пороговое значение T и была выбрана крошечная вероятность ϵ ≤ G ( T ) (так что G - 1 ( ϵ ) ≥ T ).гT& epsi ; & le ; G ( T)г- 1( ϵ ) ≥ T
Мы готовы к работе: значение, которое нас интересует, (то, которое мы хотим показать, сходится к нулю), это площадь белого прямоугольник с высотой ϵ и основанием от x = 0 до x = G - 1 ( ϵ ) . Давайте свяжем эту область с ожиданием F , потому что единственное доступное нам допущение состоит в том, что это ожидание существует и конечно.ϵ F- 1( 1 - ϵ ) = ϵ G- 1( ϵ )εх = 0х = г- 1( ϵ )F
Положительная часть ожидания E F ( X ) - это область под кривой выживания (от 0 до ∞ ):Е+ЕF( Х)0∞
ЕF( Х) = E+- E-= ∫∞0G ( x ) dх - ∫0- ∞F( х ) дх .
Поскольку должно быть конечным (в противном случае само ожидание не существовало бы и было бы конечным), мы можем выбрать T настолько большим, что область под G между 0 и T учитывает все или почти все E + .Е+Tг0TЕ+
Все части теперь на месте: график , порог T , небольшая высота ϵ и правая конечная точка G - 1 ( ϵ ) предполагают разбиение E + на области, которые мы можем проанализировать:гTεг- 1( ϵ )Е+
Когда идет к нулю сверху, площадь белого прямоугольника с основанием 0 ≤ x < T уменьшается до нуля, потому что T остается постоянным. ( Вот почему T был представлен; это ключевая идея этой демонстрации. )ε0 ≤ x < TTT
Синюю область можно сделать как можно ближе к , начав с достаточно большой буквы T, а затем выбрав маленькую ϵ . Е+Tε
Следовательно, оставшаяся площадь, которая явно не больше белого прямоугольника с основанием от до x = G - 1 ( ϵ ), может быть сделана сколь угодно малой. (Другими словами, просто игнорируйте красные и золотые области.)х = тх = г- 1( ϵ )
Таким образом, мы разбили на две части, области которых сходятся к нулю. ϵ G- 1( ϵ ) Таким образом, , КЭД.ϵ G- 1( ϵ ) → 0