Разница в средних и средних значениях

При изучении двух независимых выборочных средств нам говорят, что мы смотрим на «разницу двух средних». Это означает, что мы берем среднее значение из совокупности 1 ( ) и вычитаем из него среднее значение из совокупности 2 ( ). Итак, наша «разница двух средних» есть ( - ). $\bar y_1$ $\bar y_2$ $\bar y_1$ $\bar y_2$

При изучении парных выборочных средств нам говорят, что мы смотрим на «среднее различие», $\bar d$ . Это рассчитывается по разности между каждой парой, а затем по среднему значению всех этих различий.

Мой вопрос: получаем ли мы то же самое ( $\bar y_1$ - $\bar y_2$ ) по сравнению с его $\bar d$ если мы вычислили их по двум столбцам данных, и в первый раз посчитал, что это две независимые выборки, а во второй раз - в паре данные? Я поиграл с двумя столбцами данных, и кажется, что значения одинаковы! В таком случае, можно ли сказать, что разные имена используются только по неколичественным причинам?

paired-comparisons paired-data mean

— user84756
источник

Подумайте об этом так: как бы вы вычислили с непарными данными?

\bar{d}

$\bar d$

— shadowtalker

@ssdecontrol Особенно, если размеры выборки разные.

— Алексис

Ответы:

(Я предполагаю, что вы имеете в виду «образец», а не «население» в первом абзаце.)

Эквивалентность легко показать математически. Начните с двух образцов одинакового размера: и . Затем определите $\{x_1,\dots,x_n\}$ $\{y_1,\dots,y_n\}$

\begin{aligned} \bar{x} & = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \\ \bar{y} & = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} y_{i} \\ \bar{d} & = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} - y_{i} \end{aligned}

$\begin{align} \bar x &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \\ \bar y &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i \\ \bar d &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i - y_i \end{align}$

Тогда у вас есть:

\begin{aligned} \bar{x} - \bar{y} & = (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}) - (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} y_{i}) \\ = \frac{1}{n} (\sum_{i = 1}^{n} x_{i} - \sum_{i = 1}^{n} y_{i}) \\ = \frac{1}{n} ((x_{1} + \dots + x_{n}) - (y_{1} + \dots + y_{n})) \\ = \frac{1}{n} (x_{1} + \dots + x_{n} - y_{1} - \dots - y_{n}) \\ = \frac{1}{n} (x_{1} - y_{1} + \dots + x_{n} - y_{n}) \\ = \frac{1}{n} ((x_{1} - y_{1}) + \dots + (x_{n} - y_{n})) \\ = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} - y_{i} \\ = \bar{d} . \end{aligned}

$\begin{align} \bar x - \bar y &= \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \right) - \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i \right) \\ &= \frac{1}{n} \left( \sum_{i=1}^n x_i - \sum_{i=1}^n y_i \right) \\ &= \frac{1}{n} \left( \left( x_1 + \dots + x_n \right) - \left( y_1 + \dots + y_n \right) \right) \\ &= \frac{1}{n} \left( x_1 + \dots + x_n - y_1 - \dots - y_n \right) \\ &= \frac{1}{n} \left( x_1 - y_1 + \dots + x_n - y_n \right) \\ &= \frac{1}{n} \left( \left( x_1 - y_1 \right) + \dots + \left( x_n - y_n \right) \right) \\ &= \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n x_i - y_i \\ &= \bar d. \end{align}$

— shadowtalker
источник

Но два доверительных интервала, рассчитанные для «разности средних» и «средней разницы», будут разными, верно? Это можно увидеть, посмотрев на и . Парная «средняя разница» будет отличаться для (который все равен нулю) по сравнению с (который не является всем нулем); Различие средств не зависит от порядка элементов.

A = [1, 2, 3, 4, 5, . . .]

$A = [1, 2, 3, 4, 5, ...]$

B = [. . ., 5, 4, 3, 2, 1]

$B = [..., 5, 4, 3, 2, 1]$

A - A

$A - A$

A - B

$A - B$

— Берс

Больше не могу редактировать мой предыдущий пост. Третье предложение должно начинаться «Последовательность спаренных„средних различий“...»

— Берс

@bers, при чем здесь ?

A - A

$A-A$

— Shadowtalker

Пусть . Тогда и - две разные последовательности. Доверительный интервал для средней парной разности, безусловно, будет различным в обоих случаях. Но разница средних и доверительного интервала будет одинаковой как для и для . Или я не прав?

C = A

$C=A$

A - C

$A-C$

A - B

$A-B$

A - C

$A-C$

A - B

$A-B$

— Берс

@Bers Я думаю, что вы в замешательстве, но я не понимаю, о чем вы смущены.

— Shadowtalker

Распределение среднего значения должно быть более жестким, чем распределение среднего значения. Посмотрите на это на простом примере: среднее значение в образце 1: 1 10 100 1000, среднее значение в образце 2: 2 11 102 1000, разность средних составляет 1 1 2 0 (в отличие от самих образцов) имеет малое стандартное отклонение.

— Влад
источник