Является ли ковариация стандартизированных переменных корреляцией?

У меня есть основной вопрос. Скажем , у меня есть две случайные величины, $X$ и . Я могу стандартизировать их путем вычитания среднего значения и деления на стандартное отклонение, то есть $Y$ $X_{standardized} = \frac{(X - E(X))}{(SD(X))}$ .

Является ли корреляция и , такой же, как ковариация стандартизированных версий и ? То есть ? $X$ $Y$ $Cor(X, Y)$ $X$ $Y$ $Cor(X, Y) = Cov(X_{standardized}, Y_{standardized})$

correlation covariance standardization

— Джейк Фишер
источник

Да.

${}{}{}{}{}$

— Дилип Сарвейт

Итак, да!

\begin{aligned} корр (Икс, Y) & знак равно \frac{Е ((Икс - Е (Икс)) \times (Y - Е (Y)))}{S D (Икс) \times S D (Y)} \\ Cov ({Икс}_{стандартизированы}, Y_{стандартизированы}) & знак равно Е [(\frac{(Икс - Е (Икс))}{(S D (Икс))} - 0) \times (\frac{(Y - Е (Y))}{(S D (Y))} - 0)] \\ знак равно \frac{Е ((Икс - Е (Икс)) \times (Y - Е (Y)))}{S D (Икс) \times S D (Y)} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{corr}(X,Y)&=\frac{E\Big((X-E(X))\times(Y-E(Y))\Big)}{SD(X)\times SD(Y)}\\ \operatorname{Cov}(X_{\text{standardized}}, Y_{\text{standardized}}) &=E\Bigg[\Bigg(\frac{(X - E(X))}{(SD(X))}-0\Bigg)\times\Bigg(\frac{(Y - E(Y))}{(SD(Y))}-0\Bigg)\Bigg]\\ &= \frac{E\Big((X-E(X))\times(Y-E(Y))\Big)}{SD(X)\times SD(Y)} \end{align}$

— Хемант Рупани
источник

Какая???? Правая часть вашего первого уравнения является случайной величиной, а левая часть - константой.

— Дилип Сарватэ

Ошибочный номер Вопрос о корреляции и ковариации случайных величин, тогда как ваш ответ о выборочной корреляции и ковариации. Например, запрашиваемый результат относится к непрерывным случайным переменным, тогда как в лучшем случае то, что вы имеете, применяется только к дискретным случайным переменным, принимающим значения

с равной вероятностью

(X_{1}, Y_{1}), \dots, (X_{n}, Y_{n})

$(X_1,Y_1), \ldots, (X_n,Y_n)$

\frac{1}{n}

$\frac 1n$

— Дилип Сарвейт

i

$i$

Вы берете SD (X) и SD (Y) из ожидания. Объясните причины этого шага немного больше, пожалуйста.

— Эрдоган СЕВЕР

Константы @Erdogan могут быть взяты вне функции Expected () без изменений.

— Хемант Рупани