Так что этот вопрос немного запутанный, но я добавлю красочные графики, чтобы восполнить это! Сначала предыстория, затем вопрос (ы).

Задний план

Скажем, у вас есть мерное полиномиальное распределение с равными вероятностями по категориям. Пусть - нормализованные значения ( ) из этого распределения, то есть:$n$$n$$\pi = (\pi_1, \ldots, \pi_n)$$c$

Теперь распределение по имеет поддержку по симплексу, но с дискретными шагами. Например, при этот дистрибутив имеет следующую поддержку (красные точки):$\pi$$n$$n = 3$

Другим распределением с аналогичной поддержкой является мерное распределение , то есть равномерное распределение по единичному симплексу. Например, вот случайные ничьи из 3-мерного :Дирихле ( 1 , … , 1 ) Дирихле ( 1 , 1 , 1 $n$$\text{Dirichlet}(1, \ldots, 1)$$\text{Dirichlet}(1, 1, 1)$

Теперь у меня появилась идея, что распределение из распределения можно охарактеризовать как отрисовки из , которые дискретизируются до дискретной поддержки . Дискретизация, которую я имел в виду (и которая, кажется, работает хорошо), состоит в том, чтобы взять каждую точку симплекса и «округлить ее» до ближайшей точки, которая находится в поддержке . Для трехмерного симплекса вы получите следующий раздел, где точки в каждой цветной области должны «округляться» до ближайшей красной точки:Многочлен ( 1 / n , … , 1 / n ) Дирихле ( 1 , … , 1 ) π $\pi$$\text{Multinomial}(1/n, \ldots, 1/n)$$\text{Dirichlet}(1, \ldots, 1)$$\pi$$\pi$

Поскольку распределение Дирихле является равномерным, результирующая плотность / вероятность для каждой из точек пропорциональна площади / объему, который «округляется» до каждой точки. Для двумерного и трехмерного случаев эти вероятности:

( эти вероятности взяты из моделирования Монте-Карло )

Таким образом, кажется, что, по крайней мере для 2 и 3 измерений, полученное распределение вероятностей от дискретизации таким конкретным способом совпадает с распределением вероятности для . Это нормализованный результат распределения . Я также пробовал с 4-мя измерениями, и, похоже, там работает.π Многочлен ( 1 / n , … , 1 / n $\text{Dirichlet}(1, \ldots, 1)$$\pi$$\text{Multinomial}(1/n, \ldots, 1/n)$

Вопросов)

Итак, мой главный вопрос:

Дискретизируя однородный Дирихле таким конкретным способом, имеет ли отношение отношение для дальнейших измерений? Отношение имеет место вообще? (Я пробовал это только с помощью симуляции Монте-Карло ...)$\text{Multinomial}(1/n, \ldots, 1/n)$

Дальше мне интересно:

• Если это соотношение верно, это известный результат? И есть ли какой-нибудь источник, который я могу процитировать для этого?
• Если эта дискретизация равномерного Дирихле не имеет этого отношения с Мультивиномом. Есть ли подобная конструкция, которая имеет?

Некоторый контекст

Моя причина для того, чтобы задать этот вопрос, заключается в том, что я смотрю на сходство непараметрического Bootstrap и байесовского Bootstrap, и затем это выяснилось. Я также заметил, что рисунок на цветных областях на 3-мерном симплексе выше выглядит (и должен быть) диаграммой Вороного. Один из способов (я надеюсь) вы можете подумать об этом как последовательность треугольника / симпекса Паскаля ( http://www.math.rutgers.edu/~erowland/pascalssimplices.html ). Если размеры цветных областей следуют за вторым рядом треугольника Паскаля во втором случае, за третьим рядом тетраэдра Паскаля в третьем случае и так далее. Это объяснило бы связь с многочленным распределением, но здесь я действительно в глубокой воде ...

Эти два распределения различны для каждого .$n \geq 4$

нотация

Я собираюсь изменить ваш симплекс на коэффициент , чтобы точки решетки имели целочисленные координаты. Это ничего не меняет, я просто думаю, что это делает запись немного менее громоздкой.$n$

Пусть - -симплекс, заданный как выпуклая оболочка точек , ..., в . Другими словами, это точки, где все координаты неотрицательны, и где координаты суммируются с .( n - 1 ) ( n , 0 , … , 0 ) ( 0 , … , 0 , n ) R n$S$$(n-1)$$(n,0,\ldots,0)$$(0,\ldots,0,n)$$\mathbb R^{n}$$n$

Обозначим через множество точек решетки , т. Е. Тех точек в где все координаты целые.$\Lambda$$S$

Если - точка решетки, мы обозначим ее ячейку Вороного , определенную как те точки в которые (строго) ближе к чем к любой другой точке в .V P S P $P$$V_P$$S$$P$$\Lambda$

Мы ставим два вероятностных распределения, которые мы можем поместить в . Одним из них является полиномиальное распределение, где точка имеет вероятность . Другой мы будем называть моделью Дирихле , и она назначает каждому вероятность, пропорциональную объему .( 1 , . . . , П ) 2 - п п ! / ( a 1 ! ⋯ a n ! ) P ∈ Λ V $\Lambda$$(a_1, ..., a_n)$$2^{-n} n!/(a_1! \cdots a_n!)$$P \in \Lambda$$V_P$

Очень неформальное оправдание

Я утверждаю, что полиномиальная модель и модель Дирихле дают разные распределения на , когда .n ≥ $\Lambda$$n \geq 4$

Чтобы увидеть это, рассмотрим случай , а точки и . Я утверждаю, что и конгруэнтны посредством перевода вектором . Это означает, что и имеют одинаковый объем, и, следовательно, и имеют одинаковую вероятность в модели Дирихле. С другой стороны, в полиномиальной модели они имеют разные вероятности ( И ), И это Отсюда следует, что распределения не могут быть равными.A = ( 2 , 2 , 0 , 0 ) B = ( 3 , 1 , 0 , 0 ) V A V B ( 1 , - 1 , 0 , 0 ) V A V B A B 2 - 4 ⋅ 4 ! / ( 2 ! 2 ! ) 2 - $n=4$$A = (2,2,0,0)$$B=(3,1,0,0)$$V_A$$V_B$$(1,-1,0,0)$$V_A$$V_B$$A$$B$$2^{-4} \cdot 4!/(2!2!)$$2^{-4} \cdot 4!/3!$

Тот факт, что и совпадают, следует из следующего правдоподобного, но неочевидного (и несколько расплывчатого) утверждения:V $V_A$$V_B$

Правдоподобное утверждение : На форму и размер влияют только «непосредственные соседи» (т. Те точки в которые отличаются от вектором, который выглядит как , где и могут быть в других местах) P Λ P ( 1 , - 1 , 0 , … , 0 ) 1 - $V_P$$P$$\Lambda$$P$$(1,-1,0,\ldots,0)$$1$$-1$

Легко видеть, что конфигурации «непосредственных соседей» и одинаковы, и из этого следует, что и являются конгруэнтными.B V A V $A$$B$$V_A$$V_B$

В случае , мы можем играть в ту же игру, с и , например.A = ( 2 , 2 , n - 4 , 0 , … , 0 ) B = ( 3 , 1 , n - 4 , 0 , … , 0 $n \geq 5$$A = (2,2,n-4,0,\ldots,0)$$B=(3,1,n-4,0,\ldots,0)$

Я не думаю, что это утверждение совершенно очевидно, и я не собираюсь доказывать это, вместо немного другой стратегии. Тем не менее, я думаю, что это более интуитивный ответ на вопрос, почему распределения отличаются для .$n \geq 4$

Строгое доказательство

Возьмите и как в неофициальном обосновании выше. Нам нужно только доказать, что и конгруэнтны.B V A V $A$$B$$V_A$$V_B$

Учитывая , мы определим следующим образом: - это множество точек , для которых . (В более удобной форме: пусть . - множество точек, для которых разница между самым высоким и самым низким меньше 1.)Ш Р Ш Р ( х 1 , ... , х п ) ∈ S макс 1 ≤ я ≤ п ( а я - р я ) - мин 1 ≤ я ≤ п ( а , i - p i ) < 1 v i = $P = (p_1, \ldots, p_n) \in \Lambda$$W_P$$W_P$$(x_1, \ldots, x_n) \in S$$\max_{1 \leq i \leq n} (a_i - p_i) - \min_{1 \leq i \leq n} (a_i - p_i) < 1$W P v $v_i = a_i - p_i$$W_P$$v_i$

Покажем, что .$V_P = W_P$

Шаг 1

: .$V_P \subseteq W_P$

Это довольно просто: предположим, что отсутствует в . Пусть и предположим (без ограничения общности), что , . Поскольку , мы также знаем, что .W P v i = x i - p i v 1 = max 1 ≤ i ≤ n v i v 2 = min 1 ≤ i ≤ n v i v 1 - v 2 ≥ 1 Σ п я = 1 v я = 0 V $X = (x_1, \ldots, x_n)$$W_P$$v_i = x_i - p_i$$v_1 = \max_{1\leq i\leq n} v_i$$v_2 = \min_{1\leq i\leq n} v_i$$v_1 - v_2 \geq 1$$\sum_{i=1}^n v_i = 0$$v_1 > 0 > v_2$

Пусть теперь . Так как и оба имеют неотрицательные координаты, то и , и поэтому и, следовательно, . С другой стороны, . Таким образом, по крайней мере так же близко к как и к , поэтому . Это показывает (принимая дополнения), что .Р Х Q Q ∈ S Q ∈ Л d я сек т 2 ( Х , P ) - d я сек т 2 ( X , Q ) = v 2 1 + v 2 2 - $Q = (p_1 + 1, p_2 - 1, p_3, \ldots, p_n)$$P$$X$$Q$$Q \in S$$Q \in \Lambda$X Q P X ∉ V P V p ⊆ W $\mathrm{dist}^2(X, P) - \mathrm{dist}^2(X, Q) = v_1^2 + v_2^2 - (1-v_1)^2 - (1+v_2)^2 = -2 + 2(v_1 - v2) \geq 0$$X$$Q$$P$$X \not\in V_P$$V_p \subseteq W_P$

Шаг 2

Требование : попарно не пересекаются.$W_P$

Предположим иначе. Пусть и - разные точки в , и пусть . Поскольку и различны и оба в , должен быть один индекс где , и один, где . Без ограничения общности будем считать, что , а . Переставляя и складывая вместе, мы получаем .$P=(p_1,\ldots, p_n)$Λ X ∈ W P ∩ W Q P Q Λ i p i ≥ q i + 1 p i ≤ q i - 1 p 1 ≥ q 1 + 1 p 2 ≤ q 2$Q = (q_1,\ldots,q_n)$$\Lambda$$X \in W_P \cap W_Q$$P$$Q$$\Lambda$$i$$p_i \geq q_i + 1$$p_i \leq q_i - 1$$p_1 \geq q_1 + 1$q 1 - p 1 + p 2 - q 2 ≥ $p_2 \leq q_2 - 1$$q_1 - p_1 + p_2 - q_2 \geq 2$

Теперь рассмотрим числа и . Из того факта, что , мы имеем . Аналогично, подразумевает, что . Сложив их вместе, мы получим , и мы получим противоречие.$x_1$ X ∈ W P x 1 - p 1 - ( x 2 - p 2 ) < 1 X ∈ W Q x 2 - q 2 - ( x 1 - q 1 ) < 1 q 1 - p 1 + p 2 - q 2 < $x_2$$X \in W_P$$x_1 - p_1 - (x_2 - p_2) < 1$$X \in W_Q$$x_2 - q_2 - (x_1 - q_1) < 1$$q_1 - p_1 + p_2 - q_2 < 2$

Шаг 3

Мы показали, что и что не пересекаются. крышка до множества меры нуль, и из этого следует , что ( с точностью до множества меры нуль). [Поскольку и оба открыты, мы фактически имеем , но это не обязательно.]W P V P S W P = V P W P V P W P = V $V_P \subseteq W_P$$W_P$$V_P$$S$$W_P = V_P$$W_P$$V_P$$W_P = V_P$

Теперь мы почти закончили. Рассмотрим точки и . Легко видеть, что и являются конгруэнтными и переводят друг друга: единственный способ, которым они могут отличаться, - это если граница (кроме граней, на которых лежат и ) будет «обрезана» или или но не другой. Но чтобы достичь такой части границы , нам нужно изменить одну координату или как минимум на 1, что будет достаточно, чтобы гарантировать, что мы изB = ( 3 , 1 , n - 4 , 0 , … , 0 ) W A W B S A B W A W B S A B W A W B S A B W A W B W $A = (2,2,n-4,0,\ldots,0)$$B = (3,1,n-4,0,\ldots,0)$$W_A$$W_B$$S$$A$$B$$W_A$$W_B$$S$$A$$B$$W_A$и любом случае. Таким образом, даже если действительно отличается от точек обзора и , различия слишком , чтобы их можно было определить по определениям и , и, следовательно, и конгруэнтны.$W_B$$S$$A$$B$$W_A$$W_B$$W_A$$W_B$

Из этого следует, что и имеют одинаковый объем, и, таким образом, модель Дирихле назначает им одинаковую вероятность, даже если они имеют разные вероятности в полиномиальной модели.V $V_A$$V_B$