Приблизительное распределение продукта N нормальной IID? Особый случай μ≈0

Учитывая н.о.р. , и , ищу: $N\geq30$ $X_n\approx\mathcal{N}(\mu_X,\sigma_X^2)$ $\mu_X \approx 0$

точное приближение распределения замкнутой формы $Y_N=\prod\limits_{1}^{N}{X_n}$
асимптотическая ( экспоненциальная ?) аппроксимация того же произведения

Это особый случай более общего вопроса . $\mu_X \approx 0$

1. Есть ли у вас какая-либо информация о и ? (Было бы хорошо, если бы все , например.) (2) Асимптотическое нормальное приближение будет

μ_{X}

$\mu_X$

σ_{X}

$\sigma_X$

μ_{X} / σ_{X} ≫ 0

$\mu_X/\sigma_X \gg 0$ ужасным , потому что асимптотически не будет выглядеть дистанционно нормальным.

Y

$Y$

— whuber

Я просто быстро поиграл с этим. Если вам интересно, можно получить точное решение в замкнутой форме для произведения случайных величин, которые имеют . Ненулевой

n

$n$

N (0, σ^{2})

$N(0, \sigma^2)$

μ

$\mu$ Случай, значительно усложняет задачу.

— волки

@whuber (1) выполнив несколько монте-карло с разными и , я обнаружил, что распределение

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

F

$F$ ведет себя довольно хорошо для и ; Теперь я хотел бы найти хорошее выражение для и подобное тому, как имеет несколько хороших приближений. Я построил несколько приближений с помощью расширения Тейлора, но они плохо себя ведут. (2) хорошо, определенно «выглядит» как сумма нормалей с хи-квадратом, поэтому можно уменьшить до нормы, если приближение «доказывает» это.

N > 30

$N>30$

| μ_{X} | \geq 10 σ_{X}

$|\mu_X|\geq10\sigma_X$

μ_{F}

$\mu_F$

σ_{F}

$\sigma_F$

χ^{2}

${\chi}^2$

F

$F$

F

$F$

— Андрей Позолотин

Когда , будет хорошо аппроксимировано логнормальным распределением (как показывает применение теоремы Барри-Эссеена к ).

μ_{X} \geq 10 σ_{X}

$\mu_X \ge 10\sigma_X$

Y

$Y$

\log (X)

$\log(X)$

— whuber

Прямое применение @whuber Барри-Эссеена дает , что действительно хорошо, но теряет некоторую структуру: должен быть отрицательным, должен зависеть от и т. д. возможно, есть лучшие способы его применения?

F_{N} \approx 0 + \frac{1}{\sqrt{N}} Z

$F_N \approx 0 + \frac{1}{\sqrt{N}}Z$

μ_{F}

$\mu_F$

σ_{F}

$\sigma_F$

α

$\alpha$

— Андрей Позолотин

Можно получить точное решение в случае нулевого среднего (часть B).

Проблема

Позволять $(X_1, \dots, X_n)$ обозначает iid переменных, каждая из которых имеет общий pdf : $n$ $N(0,\sigma^2)$ $f(x)$

Мы ищем PDF , для $\prod_{i=1}^n X_i$ $n = 2, 3, \dots$

Решение

PDF продукта двух таких нормалей просто:

... где я использую TransformProduct функцию из пакета mathStatica для Mathematica . Домен поддержки:

Произведение нормалей 3, 4, 5 и 6 получается путем многократного применения одной и той же функции (здесь четыре раза):

... где MeijerGобозначает функцию Мейера G

По индукции, pdf продукта $n$ iid случайных величин имеет вид: $N(0,\sigma^2)$

\frac{1}{(2 π)^{\frac{n}{2}} σ^{n}} MeijerG [{{}, {}}, {{0_{1}, \dots, 0_{n}}, {}}, \frac{x^{2}}{2^{n} σ^{2 n}}] for x \in R

$\frac{1}{(2 \pi )^{\frac{n}{2}} \sigma ^n} \text{MeijerG}[\{ \{ \}, \{ \} \}, \{ \{0_1, \dots, 0_n \}, \{ \} \}, \frac{x^2}{2^n \sigma ^{2 n}}] \quad \quad \text{ for } x \in \mathbb{R}$

Быстрая проверка Монте-Карло

Вот быстрое сравнение сравнения:

теоретический PDF только что получил (когда и $n = 6$ $\sigma=3$ ): кривая RED DASHED
к эмпирическому Монте-Карло pdf: волнистая синяя кривая

Выглядит хорошо! [голубая волнистая кривая Монте скрывает точную красную пунктирную кривую]

— wolfies
источник

l o g (. . . M e i j e r G (. . .))

$log(...MeijerG(...))$