Как я могу вычислить в закрытом виде?

Как можно оценить ожидание квадрата нормального CDF в закрытой форме?

E [Φ {(a Z + b)}^{2}] = \int_{- \infty}^{\infty} Φ {(a z + b)}^{2} ϕ (z) d z

$\mathbb{E}\left[\Phi\left(aZ+b\right)^{2}\right] = \int_{-\infty}^{\infty}\Phi\left(az+b\right)^{2}\phi(z)\,dz$

Здесь , - действительные числа, , и - функции плотности и распределения стандартной нормальной случайной величины, соответственно. $a$ $b$ $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$ $\phi(\cdot)$ $\Phi(\cdot)$

mathematical-statistics

— Андрей
источник

Ну где ты застрял? Вы пытались это оценить? Возможно, используйте тот факт, что

Var (g (X)) = E [g (X)^{2}] - (E [g (X)])^{2}

$\text{Var}(g(X))=E[g(X)^2]-(E[g(X)])^2$

— хранится

Я пытался оценить интеграл, используя интеграцию по частям и другие (простые) методы, но это никуда меня не привело. Кроме того, я фактически начал с дисперсии, чтобы добраться сюда. Я нашел похожий вопрос ( stats.stackexchange.com/questions/61080/… ), но расширение на CDF в квадрате не кажется тривиальным.

— Андрей

Рассматривали ли вы использование полярных координат?

— StatsStudent

Нет, не могли бы вы рассказать немного подробнее?

— Андрей

Если и , то равномерно распределяется между 0 и 1. Его второй момент равен . Я вспоминаю попытки вычислить что-то вроде того, что вы просите для общих и , но я не нашел решений в замкнутой форме.

b = 0

$b=0$

a = 1

$a=1$

Φ (Z)

$\Phi(Z)$

1 / 3

$1/3$

a

$a$

b

$b$

— StijnDeVuyst

Как отмечено в моем комментарии выше, проверьте в Википедии список интегралов от гауссовских функций. Используя ваши обозначения, он дает где - функция Оуэна T, определяемая как

\int_{- \infty}^{\infty} Φ (a z + b)^{2} ϕ (z) d z = Φ (\frac{b}{\sqrt{1 + a^{2}}}) - 2 T (\frac{b}{\sqrt{1 + a^{2}}}, \frac{1}{\sqrt{1 + 2 a^{2}}}),

$\int_{-\infty}^{\infty} \Phi (az+b)^2 \phi(z) dz=\Phi \left( {{b} \over {\sqrt{1+a^2}} }\right) - 2T \left( {{b} \over {\sqrt{1+a^2}}} \ , {{1} \over {\sqrt{1+2a^2}}} \right) ,$

T (h, q)

$T(h,q)$

T (h, q) = ϕ (h) \int_{0}^{q} \frac{ϕ (h x)}{1 + x^{2}} d x

$T(h,q)=\phi(h) \int_0^q {{\phi(hx) } \over {1+x^2}} dx$

Если вы подключите вы получите как в комментариях указано, что вы должны. $a=1,b=0$ $1 \over 3$

— soakley
источник

Большое спасибо, это именно то, что я искал.

— Андрей