Если являются независимой бета-версией, тогда show также является бета-версией

Вот проблема, которая возникла на семестровом экзамене в нашем университете несколько лет назад, и я пытаюсь ее решить.

Если являются независимыми случайными переменными с плотностями и соответственно, то покажите, что следует за . $X_1,X_2$ $\beta$ $\beta(n_1,n_2)$ $\beta(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)$ $\sqrt{X_1X_2}$ $\beta(2n_1,2n_2)$

Я использовал метод чтобы получить плотность следующим образом: $Y=\sqrt{X_1X_2}$

f_{Y} (y) = \frac{4 y^{2 n_{1}}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int_{y}^{1} \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2})^{n_{2} - 1} (1 - \frac{y^{2}}{x^{2}})^{n_{2} - 1} d x

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_y^1\dfrac{1}{x^2}(1-x^2)^{n_2-1}(1-\dfrac{y^2}{x^2})^{n_2-1}dx$

Я потерян в этот момент на самом деле. Теперь в основной статье я обнаружил подсказку. Я попытался использовать подсказку, но не смог получить нужные выражения. Подсказка дословно выглядит следующим образом:

Подсказка: выведите формулу для плотности в терминах заданных плотностей и и попробуйте использовать замену переменной с . $Y=\sqrt{X_1X_2}$ $X_1$ $X_2$ $z=\dfrac{y^2}{x}$

Итак, на данный момент, я пытаюсь использовать эту подсказку, рассматривая это изменение переменной. Следовательно, я получаю, который после упрощения оказывается (запись для )

f_{Y} (y) = \frac{4 y^{2 n_{1}}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int_{y^{2}}^{y} \frac{z^{2}}{y^{4}} (1 - \frac{y^{4}}{z^{2}})^{n_{2} - 1} (1 - y^{2} . \frac{z^{2}}{y^{4}})^{n_{2} - 1} \frac{y^{2}}{z^{2}} d z

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_{y^2}^y\dfrac{z^2}{y^4}(1-\dfrac{y^4}{z^2})^{n_2-1}(1-y^2.\dfrac{z^2}{y^4})^{n_2-1}\dfrac{y^2}{z^2}dz$

x

$x$

z

$z$

f_{Y} (y) = \frac{4 y^{2 n_{1}}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int_{y^{2}}^{y} \frac{1}{y^{2}} (1 - \frac{y^{4}}{x^{2}})^{n_{2} - 1} (1 - \frac{x^{2}}{y^{2}})^{n_{2} - 1} d x

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_{y^2}^y\dfrac{1}{y^2}(1-\dfrac{y^4}{x^2})^{n_2-1}(1-\dfrac{x^2}{y^2})^{n_2-1}dx$

Я действительно не знаю, как поступить. Я даже не уверен, что правильно понимаю подсказку. Во всяком случае, здесь идет остальная часть подсказки:

Заметьте, что с помощью изменения переменной требуемую плотность можно выразить двумя способами, усредняя Теперь разделите диапазон интегрирования на и и напишите и перейдите к . $z=\dfrac{y^2}{x}$
$f_{Y} (y) = c o n s t a n t . y^{2 n_{1} - 1} \int_{y^{2}}^{1} (1 - \frac{y^{2}}{x})^{n_{2} - 1} (1 - x)^{n_{2} - 1} (1 + \frac{y}{x}) \frac{1}{\sqrt{x}} d x$ $f_Y(y)=constant.y^{2n_1-1}\int_{y^2}^1(1-\dfrac{y^2}{x})^{n_2-1}(1-x)^{n_2-1}(1+\dfrac{y}{x})\dfrac{1}{\sqrt{x}}dx$ $(y^2,y)$ $(y,1)$ $(1-\dfrac{y^2}{x})(1-x)=(1-y)^2-(\dfrac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x})^2$ $u=\dfrac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}$

Ну, честно говоря, я не могу понять, как можно использовать эти подсказки: кажется, я никуда не денусь. Помощь приветствуется. Заранее спасибо.

— Лэндон Картер
источник

Я видел подобную проблему, перед которой я собрал несколько ссылок. См arxiv.org/pdf/1304.6671v1.pdf mathoverflow.net/questions/32782/...

— Sid

@Sid Извините, но я не смог найти эту проблему в этих ссылках или что-то подобное. Не могли бы вы указать места? Спасибо!!

— Лэндон Картер

Вы уверены, что правильно применили метод Якобиана? Если я это сделаю, я получу: Я думаю, вам также понадобится удвоение формула , см. en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function

f_{Y} (y) = \frac{2 y^{2 n_{1} - 1}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + 0.5, n_{2})} \int_{y^{2}}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} [(1 - \frac{y^{2}}{x}) (1 - x)]^{n_{1} - 1} d x

$f_Y(y) = \frac{2 y^{2n_1-1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+0.5,n_2)} \int_{y^2}^1 \frac{1}{\sqrt{x}} [(1-\frac{y^2}{x})(1-x)]^{n_1-1} dx$

Γ (z) Γ (z + 0.5) = 2^{1 - 2 z} \sqrt{π} Γ (2 z)

$\Gamma(z)\Gamma(z+0.5)=2^{1-2z}\sqrt{\pi}\Gamma(2z)$

— StijnDeVuyst

Видимо, кажется, что формулы одинаковы. Возможно, вам нужно использовать переменную в вашей формуле, чтобы получить мою. Я говорю о якобиане.

z = \sqrt{x}

$z=\sqrt{x}$

— Лэндон Картер

Я не думаю, что они одинаковы. Делая замену переменной, которую вы упоминаете в моей формуле, я получаю кое-что немного более простое, чем то, что вы имеете в первом интеграле вашего ОП.

— StijnDeVuyst

Я бы доказать это по-другому, используя функции, генерирующие моменты. Или эквивалентно, показывая, что й момент равен му моменту случайной величины с распределением . Если это так для всех , то в силу проблемы моментов упражнение доказано. $q$ $\sqrt{X_1X_2}$ $q$ $B$ $\beta(2n_1,2n_2)$ $q=1,2,\ldots$

В последней части мы получаем от http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution#Other_moments, что й момент равен Теперь для первой части: $q$ $B$

E [B^{q}] = \prod_{j = 0}^{q - 1} \frac{2 n_{1} + j}{2 n_{1} + 2 n_{2} + j} = \dots = \frac{Γ (2 n_{1} + q) Γ (2 n_{1} + 2 n_{2})}{Γ (2 n_{1}) Γ (2 n_{1} + 2 n_{2} + q)}

$\mathrm{E}[B^q] = \prod_{j=0}^{q-1} \frac{2n_1+j}{2n_1+2n_2+j} = \ldots = \frac{\Gamma(2n_1+q)\Gamma(2n_1+2n_2)}{\Gamma(2n_1)\Gamma(2n_1+2n_2+q)}$

E [(\sqrt{X_{1} X_{2}})^{q}] = \int \int (\sqrt{x_{1} x_{2}})^{q} f_{X_{1}} (x_{1}) f_{X_{2}} (x_{2}) d x_{1} d x_{2} = \int x^{q / 2} f_{X_{1}} (x_{1}) d x_{1} \cdot \int x_{2}^{q / 2} f_{X_{2}} (x_{2}) d x_{2} = \frac{1}{B (n_{1}, n_{2})} \int x_{1}^{n_{1} + q / 2 - 1} (1 - x_{1})^{n_{2} - 1} d x_{1} \cdot \frac{1}{B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int x_{2}^{n_{1} + \frac{q + 1}{2} - 1} (1 - x_{2})^{n_{2} - 1} d x_{2} = \frac{B (n_{1} + \frac{q}{2}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{q + 1}{2}, n_{2})}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})}

$\mathrm{E}[(\sqrt{X_1X_2})^q] = \int\int (\sqrt{x_1x_2})^q f_{X_1}(x_1) f_{X_2}(x_2) dx_1dx_2 \\ = \int x^{q/2} f_{X_1}(x_1) d x_1 \cdot \int x_2^{q/2} f_{X_2}(x_2) d x_2\\ = \frac{1}{B(n_1,n_2)} \int x_1^{n_1+q/2-1}(1-x_1)^{n_2-1}dx_1 \cdot \frac{1}{B(n_1+\frac{1}{2},n_2)} \int x_2^{n_1+\frac{q+1}{2}-1}(1-x_2)^{n_2-1}dx_2\\ = \frac{B(n_1+\frac{q}{2},n_2)B(n_1+\frac{q+1}{2},n_2)}{B(n_1,n_2)B(n_1+\frac{1}{2},n_2)}$ Теперь осталось только применить определение и затем формулу удвоения . Тогда получается, что первая часть и вторая часть абсолютно одинаковы.

B (α, β) = \frac{Γ (α) Γ (β)}{Γ (α + β)}

$B(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$

Γ (α) Γ (α + \frac{1}{2}) = 2^{1 - 2 α} \sqrt{π} Γ (2 α)

$\Gamma(\alpha)\Gamma(\alpha+\frac{1}{2})=2^{1-2\alpha}\sqrt{\pi}\Gamma(2\alpha)$

— StijnDeVuyst
источник

Я не думаю, что вы можете сказать, что равенство моментов подразумевает равенство распределения. Есть примеры, где это может не иметь места.

— Лэндон Картер

StijnDeVuyst, извините, это не приемлемый ответ. У меня есть пример, где моменты равны, но распределения не совпадают. Пример немного сложнее, хотя. К сожалению, у меня нет примера со мной сейчас; это также прибыло в один экзамен семестра. Но скоро я опубликую пример в этой теме, если вы заинтересованы. Во всяком случае, я решил эту проблему сам. Спасибо за вашу помощь.

— Лэндон Картер

@yedaynara и Stijn: классический пример (?) принадлежит : рассмотрим где - это pdf стандартный логнормальный и . Все члены этого семейства дистрибутивов имеют одинаковые моменты (всех заказов). Обратите внимание, что стандартный lognormal является членом этого семейства, и его моменты имеют приятную замкнутую форму.

f_{b} (x) = f_{0} (x) (1 + b \sin (2 π \log x))

$f_b(x) = f_0(x)(1+b \sin(2\pi\log x))$

f_{0}

$f_0$

b \in [- 1, 1]

$b \in [-1,1]$

— кардинал

Однако существуют дополнительные условия (например, условия Карлемана) для моментов, которые гарантируют уникальность распределения. Это известно как проблема моментов Гамбургера .

— кардинал

Цитата из web.williams.edu/Matmatics/sjmiller/public_html/book/papers/… "... Элементарная линейная алгебра проверяет, что положительная мера с конечной поддержкой однозначно определяется своими моментами ..." Условие Карлемана для M-определенности для бета-распределений в OP. @cardinal и yedaynara оба правы, что я был слишком быстр, чтобы предположить это. Но, видимо, конечная поддержка - это то, что спасает день.

— StijnDeVuyst