Распределение максимума двух коррелированных нормальных переменных

Скажем, у меня есть две стандартные нормальные случайные величины $X_1$ и $X_2$ , которые совместно нормальны с коэффициентом корреляции $r$ .

Какова функция распределения ?$\max(X_1, X_2)$

Согласно Nadarajah and Kotz, 2008 , Точное распределение макс / мин двух гауссовских случайных величин , PDF выглядит так:$X = \max(X_1, X_2)$

$$f(x) = 2 \cdot \phi(x) \cdot \Phi\left( \frac{1 - r}{\sqrt{1 - r^2}} x\right),$$

где - PDF, а Φ - CDF стандартного нормального распределения.$\phi$$\Phi$

$\hskip2in$

Пусть - двумерный нормальный PDF для ( X , Y ) со стандартными маргиналами и корреляцией ρ . CDF максимума по определению$f_\rho$$(X,Y)$$\rho$

$$\Pr(\max(X, Y)\le z) = \Pr(X\le z,\ Y\le z) = \int_{-\infty}^z\int_{-\infty}^z f_\rho(x,y)dy dx.$$

Двусторонний нормальный PDF симметричен (через отражение) вокруг диагонали. Таким образом, увеличение до z + d z добавляет две полосы эквивалентной вероятности к исходному полубесконечному квадрату: верхняя бесконечно малая имеет вид ( - ∞ , z ] × ( z , z + d z ], в то время как ее отраженный аналог, правая полоса, это ( z , z + d z ] × ( - ∞ , z ] .$z$$z+dz$$(-\infty, z]\times (z, z+dz]$$(z, z+dz]\times (-\infty, z]$

Плотность вероятности правой полосы равна плотности в z раз общей условной вероятности того, что Y находится в полосе, Pr ( Y ≤ $X$$z$$Y$ . Условное распределение Y всегда Нормальное, поэтому, чтобы найти эту общую условную вероятность, нам нужны только среднее значение и дисперсия. Условное среднее Y в X - это предсказание регрессии ρ X, а условная дисперсия - это «необъяснимая» дисперсия var ( Y ) - var ( ρ X ) = 1 - ρ 2 .$\Pr(Y\le z\,|\, X=z)$$Y$$Y$$X$$\rho X$$\text{var}(Y) - \text{var}(\rho X) = 1-\rho^2$

Теперь, когда мы знаем условное среднее и дисперсию, условный CDF для данным X может быть получен путем стандартизации Y и применения стандартного нормального CDF Φ :$Y$$X$$Y$$\Phi$

$$\Pr(Y \le y\,|\, X) = \Phi\left(\frac{y-\rho X}{\sqrt{1-\rho^2}}\right).$$

Оценка этого при и X = z и умножение на плотность X в z (стандартное нормальное pdf ϕ ) дает плотность вероятности второй (правой) полосы$y=z$$X=z$$X$$z$$\phi$

$$\phi(z)\Phi\left(\frac{z-\rho z}{\sqrt{1-\rho^2}}\right) = \phi(z)\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right).$$

Удвоение этого объясняет равновероятную верхнюю полосу, давая PDF максимума как

$$\frac{d}{dz}\Pr(\max(X,Y)\le z) = \color{blue}{2}\color{black}{\phi(z)}\color{darkred}{\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right)}.$$

Recapitulation

I have colored the factors to signify their origins: $\color{blue}2$ for the two symmetrical strips; $\color{black}{\phi(z)}$ for the infinitesimal strip widths; and $\color{darkred}{\Phi\left(\cdots\right)}$ for the strip lengths. The argument of the latter, $\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z$, is just a standardized version of $Y=z$ conditional on $X=z$.