Почему функция накопительного распределения (CDF) однозначно определяет распределение?

Мне всегда говорили, что CDF уникален, однако PDF / PMF не уникален, почему это так? Можете ли вы привести пример, когда PDF / PMF не является уникальным?

— DKangeyan
источник

Что касается уникальности, вы можете подумать о разнице между PDF равномерного распределения на

[0, 1]

$[0,1]$ и равномерного распределения внутри

(0, 1)

$(0,1)$ . Еще одно забавное упражнение, в котором рассматривается вопрос о том, существует ли PDF-файл, - подумать о том, как будет выглядеть PDF распределения по рациональным числам. Например, пусть

Pr (j 2^{- i}) = 2^{1 - 2 i}

$\Pr(j2^{-i})=2^{1-2i}$ всякий раз, когда

0 < j 2^{- i} < 1

$0\lt j2^{-i}\lt 1$ ,

i \geq 1

$i\ge 1$ , а

j

$j$ нечетно.

— whuber

Не во всех дистрибутивах даже есть PDF или PMF, хотя просмотр CDF дает единый взгляд на вещи. Непрерывные переменные имеют гладко выглядящие CDF, дискретные переменные имеют «лестницу», а некоторые CDF смешаны.

— Серебряная

@Silverfish: ... и некоторые из них не являются :-)

— кардинал

Чтобы обратиться к названию (возможно, несколько свободно), CDF определяет распределение, потому что CDF (или, что эквивалентно, просто DF / «функция распределения»; «C» действует только для того, чтобы уточнить, что это объект, о котором мы говорим) - это термин «распределение» буквально относится к; «D» - ключ к этой части. То, что он уникален, следует из "F" - функции однозначны, поэтому, если две функции распределения идентичны, объект, который они определяют, является одним и тем же; если бы DF отличались где-либо, то вещь, которую они определяют, была бы другой в этих точках. Это тавтология? Я думаю, что это.

— Glen_b

@Glen_b Тавтологично только для обученной интуиции. Функция распределения

дает только вероятности вида

F

$F$

тогда как весь

F (x) = Pr {ω \in Ω | X (ω) \leq x}

$F(x)=\Pr\{\omega\in\Omega\,|\,X(\omega)\le x\}$ распределение задает вероятности вида

для любых измеримых множеств

. Вы должны показать,

определяет распределение. Как указывает Николас B, речь идет о расширении предварительной меры от полукольца (с полуоткрытыми интервалами)

до полного Лебега. Сигма-поле и показывает его уникальность

Pr ({ω \in Ω | X (ω) \in B}

$\Pr(\{\omega\in\Omega\,|\,X(\omega)\in\mathcal{B}\}$

B \subset R

$\mathcal{B}\subset\mathbb R$

F

$F$

μ ((a, b]) = F (b) - F (a)

$\mu((a,b])=F(b)-F(a)$

— Whuber

Ответы:

Давайте вспомним некоторые вещи. Пусть являются вероятностным пространство , нашего образца набора, наша - алгебра, и является функцией вероятности , определенная на . Случайная величина является измеримой функцией т.е. для любого Лебегу подмножество в $(\Omega,A,P)$ $\Omega$ $A$ $\sigma$ $P$ $A$ $X:\Omega \to \mathbb{R}$ $X^{-1}(S) \in A$ $\mathbb{R}$ , Если вы не знакомы с этой концепцией, то все, что я скажу потом, не будет иметь никакого смысла.

Каждый раз, когда у нас есть случайная величина , она индуцирует вероятностную меру на с помощью категорического продвижения вперед. Другими словами, . Это тривиально , чтобы проверить , что является вероятностной мерой на . Мы называем на распределение в . $X:\Omega \to \mathbb{R}$ $X'$ $\mathbb{R}$ $X'(S) = P(X^{-1}(S))$ $X'$ $\mathbb{R}$ $X'$ $X$

Теперь с этим понятием связано то, что называется функцией распределения функциональной переменной. Для произвольной переменной определим . Функции распределения обладают следующими свойствами: $X:\Omega \to \mathbb{R}$ $F(x) = P(X\leq x)$ $F:\mathbb{R} \to [0,1]$

являетсянепрерывным справа. $F$
не убывает $F$
и . $F(\infty) = 1$ $F(-\infty)=0$

Очевидно, что случайные переменные, которые равны, имеют одинаковую функцию распределения и распределения.

Обратный процесс и получение меры с заданной функцией распределения довольно технически. Допустим, вам дана функция распределения . Определите . Вы должны показать, что - это мера на полуалгебре интервалов . После этого вы можете применить теорему о расширении Каратеодори. расширить до вероятностной меры на . $F(x)$ $\mu(a,b] = F(b) - F(a)$ $\mu$ $(a,b]$ $\mu$ $\mathbb{R}$

— Николас Бурбаки
источник

This is a good start to an answer, but may be unintentionally obscuring the matter at hand a bit. The main issue seems to be showing that two measures with the same distribution function are, in fact, equal. This requires nothing more than Dynkin's

π

$\pi$ -

λ

$\lambda$ theorem and the fact that sets of the form

(- \infty, b]

$(-\infty, b]$ form a

π

$\pi$ -system that generates the Borel

σ

$\sigma$ -algebra. Then the nonuniqueness of a density (assuming it exists!) can be addressed and contrasted with the above.

— cardinal

(Еще одно незначительное замечание: случайные переменные обычно определяются в терминах борелевских множеств, а не множеств Лебега.) Думаю, с некоторыми незначительными правками этот ответ станет совершенно ясным. :-)

— кардинал

@ Cardinal Я думаю, что анализ в первую очередь, вероятность второй. Следовательно, это может объяснить, почему я предпочитаю думать о множествах Лебега. В любом случае это не влияет на сказанное.

— Николас Бурбаки

Чтобы ответить на запрос о примере двух плотностей с одинаковым интегралом (т.е. иметь одинаковую функцию распределения), рассмотрим эти функции, определенные на действительных числах:

 f(x) = 1 ; when x is odd integer
 f(x) = exp(-x^2)  ; elsewhere

а потом;

 f2(x) = 1  ; when x is even integer
 f2(x) = exp(-x^2) ;  elsewhere

They are not equal at all x, but are both densities for the same distribution, hence densities are not uniquely determined by the (cumulative) distribution. When densities with a real domain are different only on a countable set of x values, then the integrals will be the same. Mathematical analysis is not really for the faint of heart or the determinately concrete mind.

— DWin
источник

I disagree with the statement, "the probability distribution function does not uniquely determine a probability measure", that you say in your opening question. It does uniquely determine it.

Let $f_1,f_2:\mathbb{R}\to [0,\infty)$ be two probability mass functions. If,

\int_{E} f_{1} = \int_{E} f_{2}

$\int_E f_1 = \int_E f_2$ For any measurable set

E

$E$ then

f_{1} = f_{2}

$f_1=f_2$ almost everywhere. This uniquely determines the pdf (because in analysis we do not care if they disagree on a set of measure zero).

We can rewrite the above integral into,

\int_{E} g = 0

$\int_E g = 0$ Where

g = f_{1} - f_{2}

$g=f_1-f_2$ is an integrable function.

Define $E = \{ x \in \mathbb{R} ~ | ~ g \geq 0 \}$ , so $\int_E g = 0$ . We use the well-known theorem that if an integral of a non-negative function is zero then the function is zero almost everywhere. In particular, $g=0$ a.e. on $E$ . So $f_1 = f_2$ a.e. on $E$ . Now repeat the argument in the other direction with $F = \{ x\in \mathbb{R} ~ | ~ g \leq 0 \}$ . We will get that $f_1 = f_2$ a.e on $F$ . Thus, $f_1 = f_2$ a.e. on $E\cup F = \mathbb{R}$ .

— Nicolas Bourbaki
источник