Определение зависимости от хвоста

Я пытался найти простое, краткое определение того, что такое зависимость от хвоста. Кто-нибудь может поделиться тем, во что они верят.

Во-вторых, если бы я построил симуляции, используя разные копулы на графике, как бы я узнал, какие из них демонстрируют зависимость от хвоста?

определение зависимости rv и от верхнего хвоста с их соответствующими маргинальными распределениями F и G: (Эмбрехтс и др. (2001)). Это вероятность того, что Y достигает чрезвычайно больших значений, учитывая, что случайная величина X достигает чрезвычайно больших значений. Следовательно, можно понять, что чем ближе к единице, тем ближе связь между X, достигающим высоких значений, и Y, достигающим также больших значений.$X$$Y$$\lim_{u \to 1} P\{ Y>G^{-1}(u)|X>F^{-1}(u))=\lambda_u$$\lambda$

В экстремальных случаях нетрудно определить, имеют ли связки хвостовую зависимость: важно, будут ли эти (две) переменные вести себя более близко в углах графика, чем в центре.

Гауссова связка не имеет хвостовой зависимости - хотя случайные переменные сильно коррелируют, кажется, что нет особой зависимости, любая из переменных достигает больших значений (в углах диаграммы).

Отсутствие зависимости от хвоста становится очевидным, когда график сравнивается с графиком моделирования с теми же маргиналами, но с копулой Т-2.

Т-связки имеют хвостовую зависимость, и зависимость увеличивается с корреляцией и уменьшается с числом степеней свободы. Если бы было симулировано больше точек, чтобы большая часть квадрата единицы была покрыта, мы почти увидели бы точки тонкой линией в верхнем правом и нижнем левом углах. Но даже на графике очевидно, что в верхнем правом и нижнем левом квадрантах - то есть, когда обе переменные достигают очень низких или очень высоких значений - эти две переменные кажутся даже более тесно коррелированными, чем в теле.

Финансовые рынки имеют тенденцию проявлять зависимость от хвоста, особенно зависимость от хвоста; Например, доходность основных акций в обычное время имеет корреляцию примерно 0,5, но в сентябре / октябре 2008 года некоторые пары имели корреляцию более 0,9 - обе они сильно падали. Копула Гаусса использовалась до кризиса для определения цен на кредитные продукты, и, поскольку она не учитывала зависимость от хвоста, она недооценивала потенциальные потери, когда многие домовладельцы стали не в состоянии платить. Платежи домовладельцев можно понимать как случайные переменные - и они оказались сильно коррелированными в тот момент, когда у многих людей возникли проблемы с выплатой ипотеки. Так как эти дефолты были тесно связаны из-за неблагоприятного экономического климата, противники демонстрировали зависимость от хвоста.

PS: Технически говоря, изображения показывают многомерное распределение, сгенерированное из связок и нормальных маргиналов.

Хвостовая зависимость - это когда корреляция между двумя переменными увеличивается по мере того, как вы получаете «дальше» в хвосте (одном или обоих) распределения. Сравните копулу Клейтона с копулой Фрэнка.

Клейтон имеет левостороннюю зависимость. Это означает, что по мере продвижения к левому хвосту (меньшие значения) переменные становятся более коррелированными. Франк (и Гаусса в этом отношении) симметричен. Если корреляция равна 0,45, она составляет 0,45 на всем протяжении распределения.

Экономические системы имеют тенденцию проявлять хвостовую зависимость. Например, взять перестраховщика на кредитный риск. Когда общие убытки нормальны, перестраховщик A или перестраховщик B не выполнят свои платежи страховщику по умолчанию, может выглядеть некоррелированным или очень слабо коррелированным. Теперь представьте, что произошла череда жертв (например, ураганы Рита, Вильма, Ида и т. Д.). Теперь весь рынок сталкивается один за другим с огромными запросами на платежи, что может привести к проблеме ликвидности, с которой столкнутся многие перестраховщики из-за масштабов проблемы и одновременных требований их страхователей. Их платежеспособность теперь гораздо более взаимосвязана. Это пример, в котором требуется связка с правосторонней зависимостью.

Хвостовая зависимость, по крайней мере, насколько я понимаю, объясняется кем-то, имеющим ограниченную статистику.

Представьте, что у вас есть две переменные, X и Y. С 100 000 наблюдений за каждой. Наблюдения связаны в некотором смысле. Возможно, они были сгенерированы с использованием связки, или у вас есть возвращенные значения двух сильно коррелированных акций в течение 100 000 периодов времени.

Давайте посмотрим на худший 1% наблюдений для X. Это 1000 наблюдений. Теперь посмотрим на соответствующее значение Y в этих 1000 наблюдений. Если бы X и Y были независимы, вы бы ожидали, что 10 наблюдений этих 1000 наблюдений будут частью худших 1% значений Y.

Фактическое число наблюдений может быть больше 10, когда значения X и Y не являются независимыми в хвостах, это то, что мы называем зависимостью хвоста .