Как определить распределение, которое извлекает из него корреляцию с ничьей из другого предварительно определенного распределения?

Как определить распределение случайной величины , чтобы ничья из имела корреляцию с , где - это единичное ничье из распределения с кумулятивной функцией распределения ? $Y$ $Y$ $\rho$ $x_1$ $x_1$ $F_{X}(x)$

— OctaviaQ
источник

Следующие Q тесно связаны между собой и будут представлять интерес: как генерировать коррелированные случайные числа (учитывая отклонения и степень корреляции) и генерировать случайную переменную с определенной корреляцией с существующей переменной .

— gung - Восстановить Монику

Вы можете определить его с точки зрения механизма генерации данных. Например, если и $X \sim F_{X}$

Y = ρ X + \sqrt{1 - ρ^{2}} Z

$Y = \rho X + \sqrt{1 - \rho^{2}} Z$

где и не зависит от , то $Z \sim F_{X}$ $X$

c o v (X, Y) = c o v (X, ρ X) = ρ \cdot v a r (X)

${\rm cov}(X,Y) = {\rm cov}(X, \rho X) = \rho \cdot {\rm var}(X)$

Также отметим , что , так как имеет такое же распределение, что и . Следовательно, ${\rm var}(Y) = {\rm var}(X)$ $Z$ $X$

c o r (X, Y) = \frac{c o v (X, Y)}{\sqrt{v a r (X)^{2}}} = ρ

${\rm cor}(X,Y) = \frac{ {\rm cov}(X,Y) }{ \sqrt{ {\rm var}(X)^{2} } } = \rho$

Так что если вы можете генерировать данные из , вы можете создать мерный, , который имеет заданную корреляцию с . Обратите внимание, однако, что предельное распределение будет только в особом случае, когда является нормальным распределением (или некоторым другим аддитивным распределением). Это связано с тем, что суммы нормально распределенных переменных являются нормальными; это не общее свойство распределений. В общем случае вам придется рассчитать распределение , рассчитав (соответствующим образом масштабированный) свертку плотности, соответствующей $F_{X}$ $Y$ $(\rho)$ $X$ $Y$ $F_{X}$ $F_{X}$ $Y$ с собой. $F_{X}$

— макрос
источник

+1 Очень хороший ответ. Придираться: в последней строке вам нужно свертка масштабируется версией из

F_{X}

$F_X$

— whuber

Большое спасибо, Макро. Просто чтобы кое-что прояснить - в последнем абзаце вы имеете в виду, что вам нужно свернуть rho * X с sqrt (1 - rho ^ 2) * X? (извините, я не смог получить никакого форматирования, даже HTML для работы с этим конкретным комментарием)

— OctaviaQ

ρ X

$\rho X$

\sqrt{1 - ρ^{2}} X

$\sqrt{1 - \rho^{2}} X$

Долгое время, но ... идеи о том, как это сделать, а также обеспечения предельного распределения Y?

— Хулиан Урбано